Untuk mencari sudut antara dua permukaan, kita perlu mencari gradien dari kedua permukaan pada titik yang diberikan, kemudian menggunakan rumus untuk sudut antara dua vektor gradien tersebut.

Diberikan dua permukaan:

1. $f(x, y, z) = xy^z = 3x + z^2$
2. $g(x, y, z) = 3x^2 - y^2 + 2z = 1$

Pada titik $(1, -2, 1)$, kita akan mencari gradien dari kedua permukaan tersebut:

1. Gradien dari $f(x, y, z)$:

$f(x, y, z) = xy^z - 3x - z^2$

Turunan parsial dari $f(x, y, z)$: $f_x = \frac{\partial f}{\partial x}, \quad f_y = \frac{\partial f}{\partial y}, \quad f_z = \frac{\partial f}{\partial z}$

Kita hitung turunan parsial masing-masing: $f_x = \frac{\partial (xy^z - 3x - z^2)}{\partial x} = y^z - 3$ $f_y = \frac{\partial (xy^z - 3x - z^2)}{\partial y} = zxy^{z-1}$ [ f_z = \frac{\partial (xy^z - 3x - z^2)}{\partial z} = xy^{z-1}