Math Problem Statement

دو قالب به جرم های ۵ کیلوگرم و ۶کیلوگرم به وسیله نخی به هم وصل شده اند و در دو طرف گوه ای قرار داده شده اند به صورتی که زاویه ی زیر m1 30 درجه و زاویه ی زیر m2 ۶۰ درجه داده شده.شتاب حرکت سیستم و کشش نخ جقدر است؟

Solution

برای حل این مسئله که مربوط به سیستم فیزیکی است که شامل دو جرم ۵ کیلوگرم و ۶ کیلوگرم است که به وسیله نخ به هم متصل شده و در دو طرف گوه‌هایی قرار دارند، باید از اصول نیروی گرانش، کشش نخ و نیروهای وارد بر هر جسم استفاده کنیم. فرض می‌کنیم که هیچ اصطکاکی وجود ندارد و تنها نیروهای گرانش، کشش نخ و نیروی وارد بر گوه‌ها به سیستم وارد می‌شوند.

مراحل حل:

  1. نیروی گرانشی (وزن) روی هر جسم:

    • برای جرم m1=5kgm_1 = 5 \, \text{kg}، نیروی گرانشی: Fg1=m1g=59.8=49NF_{g1} = m_1 \cdot g = 5 \cdot 9.8 = 49 \, \text{N}
    • برای جرم m2=6kgm_2 = 6 \, \text{kg}، نیروی گرانشی: Fg2=m2g=69.8=58.8NF_{g2} = m_2 \cdot g = 6 \cdot 9.8 = 58.8 \, \text{N}
  2. تحلیل نیروهای وارد بر هر جسم:

    • جرم m1m_1 تحت تاثیر نیروی گرانشی و نیروی کشش نخ قرار دارد. نیروی گرانشی آن در راستای شیب گوه وارد می‌شود که با زاویه ۳۰ درجه نسبت به افق است.
    • جرم m2m_2 نیز تحت تاثیر نیروی گرانشی و نیروی کشش نخ قرار دارد. نیروی گرانشی آن در راستای شیب گوه وارد می‌شود که با زاویه ۶۰ درجه نسبت به افق است.
  3. تحلیل نیروها در راستای شیب:

    • برای جرم m1m_1 با زاویه θ1=30\theta_1 = 30^\circ داریم: Fg1,=Fg1sin(30)=4912=24.5NF_{g1, \parallel} = F_{g1} \cdot \sin(30^\circ) = 49 \cdot \frac{1}{2} = 24.5 \, \text{N}
    • برای جرم m2m_2 با زاویه θ2=60\theta_2 = 60^\circ داریم: Fg2,=Fg2sin(60)=58.83250.99NF_{g2, \parallel} = F_{g2} \cdot \sin(60^\circ) = 58.8 \cdot \frac{\sqrt{3}}{2} \approx 50.99 \, \text{N}
  4. بررسی شتاب سیستم:

    • شتاب سیستم با استفاده از معادله نیوتن برای کل سیستم محاسبه می‌شود. فرض می‌کنیم که شتاب سیستم aa برای هر دو جرم یکسان است.
    • نیروهای خالص بر سیستم عبارتند از: Fnet=Fg2,Fg1,F_{\text{net}} = F_{g2, \parallel} - F_{g1, \parallel} Fnet=50.9924.5=26.49NF_{\text{net}} = 50.99 - 24.5 = 26.49 \, \text{N}
    • شتاب سیستم از طریق معادله Fnet=(m1+m2)aF_{\text{net}} = (m_1 + m_2) \cdot a به دست می‌آید: a=Fnetm1+m2=26.495+6=26.49112.41m/s2a = \frac{F_{\text{net}}}{m_1 + m_2} = \frac{26.49}{5 + 6} = \frac{26.49}{11} \approx 2.41 \, \text{m/s}^2
  5. کشش نخ:

    • کشش نخ را برای هر یک از اجسام می‌توان محاسبه کرد. برای جسم m1m_1 می‌توان نوشت: T=m1(a+gsin(30))=5(2.41+9.80.5)=5(2.41+4.9)=57.31=36.55NT = m_1 \cdot (a + g \cdot \sin(30^\circ)) = 5 \cdot (2.41 + 9.8 \cdot 0.5) = 5 \cdot (2.41 + 4.9) = 5 \cdot 7.31 = 36.55 \, \text{N}

نتیجه‌گیری:

  • شتاب سیستم: a2.41m/s2a \approx 2.41 \, \text{m/s}^2
  • کشش نخ: T36.55NT \approx 36.55 \, \text{N}

آیا توضیح بیشتری نیاز دارید یا سوالی دارید؟

سوالات تکمیلی:

  1. چگونه می‌توان اثر نیروی اصطکاک را در این سیستم وارد کرد؟
  2. در صورتی که زاویه گوه‌ها تغییر کند، چه تأثیری بر شتاب سیستم خواهد گذاشت؟
  3. اگر نیروی خارجی به سیستم وارد شود، چه تغییراتی در شتاب و کشش نخ رخ می‌دهد؟
  4. اگر یکی از گوه‌ها به سمت پایین حرکت کند، چگونه شتاب سیستم تغییر خواهد کرد؟
  5. برای حالت‌هایی که جرم‌ها متفاوت می‌شوند، چطور می‌توان شتاب را محاسبه کرد؟

نکته: در مسائل مشابه، همیشه باید دقت کنید که نیروی گرانشی را به درستی تجزیه کنید و از سینوس و کسینوس برای محاسبه مولفه‌های آن استفاده کنید.

Ask a new question for Free

By Image

Drop file here or Click Here to upload

Math Problem Analysis

Mathematical Concepts

Forces
Kinematics
Trigonometry
Newton's Laws of Motion

Formulas

F = m * g
F_{net} = F_{g2, parallel} - F_{g1, parallel}
a = F_{net} / (m1 + m2)
T = m1 * (a + g * sin(θ1))

Theorems

Newton's Second Law of Motion
Trigonometric identities

Suitable Grade Level

Grades 10-12