El problema describe un tablero de $16 \times 16$ en el cual cada casilla contiene el producto de su número de fila $i$ y su número de columna $j$. Se permite seleccionar varias filas y columnas y eliminar los números en la intersección de las filas y columnas seleccionadas, con el objetivo de que la suma de los números no eliminados sea un número primo.

Análisis:

1. Cada número en la casilla $(i, j)$ es $i \cdot j$.

2. La suma total de todos los números en el tablero es la suma de todos los productos $i \cdot j$ para $i, j \in \{1, 2, \dots, 16\}$.

   Es decir, la suma total $S_{\text{total}}$ es: $S_{\text{total}} = \sum_{i=1}^{16} \sum_{j=1}^{16} i \cdot j$

3. Esta suma puede factorizarse como: $S_{\text{total}} = \left( \sum_{i=1}^{16} i \right) \cdot \left( \sum_{j=1}^{16} j \right)$

4. La suma de los números del 1 al 16 es: $\sum_{i=1}^{16} i = \frac{16 \cdot (16 + 1)}{2} = 136$

   Por lo tanto: $S_{\text{total}} = 136 \cdot 136 = 18496$

Este es el valor total de la suma de todos los números en el tablero.

¿Cómo proceder con la eliminación?

Cuando eliminamos una fila $i$ y una columna $j$, estamos eliminando todos los productos $i \cdot j$ correspondientes. El objetivo es ver si podemos elegir las filas y columnas de modo que la suma restante de los números sea un número primo.

Si eliminamos $k$ filas y $l$ columnas, estamos eliminando productos $i \cdot j$ para cada fila $i$ seleccionada y cada columna $j$ seleccionada. Necesitamos verificar si es posible hacer estas selecciones de modo que la suma restante sea un número primo.

Consideraciones:

• Para que la suma resultante sea un número primo, debemos seleccionar filas y columnas de manera que el total de los números que quedan cumpla con esta condición.
• Dado que el número 18496 es par (y mucho mayor que los números primos conocidos), es improbable que la suma restante se convierta en un número primo solo eliminando algunas filas y columnas. Esto es porque restar números grandes de un número par muy grande difícilmente producirá un número primo, que debe ser impar.

Conclusión:

No es posible seleccionar filas y columnas para que la suma restante sea un número primo. Esto se debe a que el número total $18496$ es par y cualquier eliminación razonable no puede convertir esa suma en un número primo, dado que restar productos de filas y columnas no afectará lo suficiente la paridad ni reducirá la suma a un valor primo.

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¿Te gustaría ver detalles adicionales o explorar otra estrategia para analizar este tipo de problemas?

Preguntas Relacionadas:

1. ¿Qué pasaría si el tamaño del tablero fuera diferente, por ejemplo, $8 \times 8$?
2. ¿Se puede encontrar una estrategia para determinar el número máximo de filas y columnas que se pueden eliminar?
3. ¿Cómo afecta la eliminación de más de una fila o columna a la suma restante?
4. ¿Es posible que el número total de una tabla similar sea primo si cambiamos la operación en las casillas?
5. ¿Cómo cambia el resultado si en lugar de productos de $i$ y $j$ usamos sumas?

Tip:

Siempre que trates con números grandes, como en este problema, asegúrate de revisar la paridad y los factores antes de intentar buscar números primos.