Na trójkącie prostokątnym o wierzchołkach: A (2, 2), B (-4, 0), C (0, – 12) opisano okrąg. Wyznacz jego równanie.

Aby znaleźć równanie okręgu opisanego na trójkącie prostokątnym, potrzebujemy kilku kroków. W okręgu opisanym na trójkącie prostokątnym środek okręgu znajduje się w środku przeciwprostokątnej, a promień okręgu to połowa długości przeciwprostokątnej.

### Krok 1: Sprawdzenie, czy trójkąt jest prostokątny

Sprawdźmy, czy trójkąt o danych wierzchołkach \( A(2, 2), B(-4, 0), C(0, -12) \) jest prostokątny, korzystając z twierdzenia Pitagorasa.

1. Obliczmy długość boków trójkąta:
   - \( AB \):  
     \[
     AB = \sqrt{(x_B - x_A)^2 + (y_B - y_A)^2} = \sqrt{(-4 - 2)^2 + (0 - 2)^2} = \sqrt{(-6)^2 + (-2)^2} = \sqrt{36 + 4} = \sqrt{40} = 2\sqrt{10}
     \]
   - \( BC \):  
     \[
     BC = \sqrt{(x_C - x_B)^2 + (y_C - y_B)^2} = \sqrt{(0 + 4)^2 + (-12 - 0)^2} = \sqrt{4^2 + (-12)^2} = \sqrt{16 + 144} = \sqrt{160} = 4\sqrt{10}
     \]
   - \( AC \):  
     \[
     AC = \sqrt{(x_C - x_A)^2 + (y_C - y_A)^2} = \sqrt{(0 - 2)^2 + (-12 - 2)^2} = \sqrt{(-2)^2 + (-14)^2} = \sqrt{4 + 196} = \sqrt{200} = 10
     \]

2. Zgodnie z twierdzeniem Pitagorasa, jeśli \( AB^2 + BC^2 = AC^2 \), to trójkąt jest prostokątny:
   \[
   (2\sqrt{10})^2 + (4\sqrt{10})^2 = 10^2
   \]
   \[
   40 + 160 = 100
   \]
   Tożsamość jest prawdziwa, więc trójkąt jest prostokątny, a przeciwprostokątną jest odcinek \( AC \).

### Krok 2: Wyznaczenie środka okręgu opisanego

Środek okręgu opisanego znajduje się w środku przeciwprostokątnej \( AC \). Współrzędne środka \( S \) obliczamy jako średnią arytmetyczną współrzędnych punktów \( A \) i \( C \):
\[
S_x = \frac{x_A + x_C}{2} = \frac{2 + 0}{2} = 1, \quad S_y = \frac{y_A + y_C}{2} = \frac{2 + (-12)}{2} = \frac{-10}{2} = -5
\]
Zatem środek okręgu ma współrzędne \( S(1, -5) \).

### Krok 3: Wyznaczenie promienia okręgu

Promień okręgu to połowa długości przeciwprostokątnej \( AC \), którą już obliczyliśmy:
\[
r = \frac{AC}{2} = \frac{10}{2} = 5
\]

### Krok 4: Równanie okręgu

Równanie okręgu o środku \( S(1, -5) \) i promieniu \( r = 5 \) jest postaci:
\[
(x - S_x)^2 + (y - S_y)^2 = r^2
\]
Podstawiając współrzędne środka i promień:
\[
(x - 1)^2 + (y + 5)^2 = 5^2
\]
\[
(x - 1)^2 + (y + 5)^2 = 25
\]

Zatem równanie okręgu opisanego na danym trójkącie to:
\[
(x - 1)^2 + (y + 5)^2 = 25
\]

Czy potrzebujesz dodatkowych wyjaśnień?

### Oto kilka pokrewnych pytań:
1. Jak obliczyć środek okręgu opisanego dla dowolnego trójkąta?
2. Co to jest twierdzenie Pitagorasa i jak się go stosuje?
3. Jakie inne rodzaje okręgów można opisać wokół wielokątów?
4. Jakie są metody wyznaczania długości przeciwprostokątnej w trójkącie prostokątnym?
5. Jak obliczyć równanie okręgu, mając dane inne elementy (np. promień i środek)?

### Tip:
Twierdzenie Pitagorasa można stosować nie tylko do obliczania długości boków trójkątów, ale także do rozwiązywania wielu problemów w geometrii analitycznej.

Dowiedz się, jak wyznaczyć równanie okręgu opisanego na trójkącie prostokątnym o wierzchołkach A(2, 2), B(-4, 0), C(0, -12). Ta analiza obejmuje stosowanie twierdzenia Pitagorasa, wyznaczanie długości boków, obliczanie środka okręgu oraz równania okręgu. Odpowiednie dla uczniów szkół średnich (klasy 9-12).

Math Problem Statement

Solution

Ask a new question for Free

By Image

Math Problem Analysis

Mathematical Concepts

Formulas

Theorems

Suitable Grade Level

Related Recommendation