Para resolver este problema, calcularemos el trabajo desarrollado para llevar el agua desde su posición inicial en el tanque hasta la parte superior del tanque. Utilizaremos los principios de física y cálculo relacionados con el trabajo y la distribución del peso del agua en el tanque.

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1. Planteamiento del problema

El trabajo se calcula como: $W = \int F \cdot d$ Donde $F$ es la fuerza aplicada (peso del agua) y $d$ es la distancia sobre la cual se mueve esa fuerza.

El tanque tiene las siguientes características:

• Diámetro: $6$ pies → Radio: $r = 3$ pies.
• Altura total del tanque: $8$ pies.
• Altura inicial del agua: $4$ pies (porque está lleno hasta la mitad).

El peso del agua se calcula utilizando la densidad del agua: $\text{Densidad del agua} = 62.4 \, \text{lb/ft}^3$

El volumen de un cilindro es: $V = \pi r^2 h$ Entonces, el volumen del agua inicial es: $V = \pi (3)^2 (4) = 36\pi \, \text{ft}^3$

El peso total del agua: $\text{Peso del agua} = V \cdot \text{Densidad} = 36\pi \cdot 62.4 = 2249.9\pi \, \text{lb}$

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2. Cálculo del trabajo

Para calcular el trabajo, necesitamos integrar la fuerza en cada capa del agua y la distancia a la que se mueve cada capa desde su posición inicial hasta la parte superior.

Dividimos el agua en capas delgadas a una altura $y$, con un espesor infinitesimal $dy$. El volumen de una capa es: $dV = \pi (3)^2 dy = 9\pi \, dy$ El peso de una capa delgada es: $dF = \text{Densidad} \cdot dV = 62.4 \cdot 9\pi \, dy = 561.6\pi \, dy$

Cada capa debe moverse una distancia $8 - y$ para llegar a la parte superior del tanque. Por lo tanto, el trabajo para una capa es: $dW = dF \cdot (8 - y) = 561.6\pi (8 - y) \, dy$

Integrando desde $y = 0$ hasta $y = 4$ (la altura inicial del agua): $W = \int_{0}^{4} 561.6\pi (8 - y) \, dy$

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3. Resolución de la integral

Expandimos la integral: $W = 561.6\pi \int_{0}^{4} (8 - y) \, dy = 561.6\pi \left[ \int_{0}^{4} 8 \, dy - \int_{0}^{4} y \, dy \right]$

Calculemos cada término:

1. $\int_{0}^{4} 8 \, dy = 8y \big|_{0}^{4} = 8(4) - 8(0) = 32$
2. $\int_{0}^{4} y \, dy = \frac{y^2}{2} \big|_{0}^{4} = \frac{(4)^2}{2} - \frac{(0)^2}{2} = \frac{16}{2} = 8$

Sustituyendo: $W = 561.6\pi \left[ 32 - 8 \right] = 561.6\pi (24) = 13478.4\pi \, \text{ft-lb}$

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4. Resultado final

El trabajo necesario para llevar toda el agua hasta la parte superior del tanque es: $\boxed{13478.4\pi \, \text{ft-lb} \approx 42328.9 \, \text{ft-lb}}$

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¿Te gustaría detalles adicionales o resolver otro problema relacionado? Aquí tienes preguntas relacionadas:

1. ¿Cómo cambia el trabajo si el tanque está lleno completamente?
2. ¿Cómo afecta un cambio en el diámetro del tanque al cálculo del trabajo?
3. ¿Qué ocurre si se usa un líquido con mayor densidad, como aceite?
4. ¿Cómo se calcularía el trabajo si el tanque tuviera una forma distinta (como cónica)?
5. ¿Qué métodos numéricos se pueden usar para aproximar integrales como esta?

Tip: En problemas de trabajo y energía, dividir el sistema en pequeñas secciones y usar integrales asegura un cálculo preciso.