Первая теорема Вейерштрасса (о достижении функции своих экстремумов):

Формулировка:
Если функция $f(x)$ непрерывна на замкнутом и ограниченном промежутке $[a, b]$, то она достигает своего наибольшего и наименьшего значения на этом промежутке. То есть существуют точки $x_{\text{min}}, x_{\text{max}} \in [a, b]$, такие что: $f(x_{\text{min}}) \leq f(x) \leq f(x_{\text{max}}) \quad \forall x \in [a, b].$

---

Доказательство:

1. Ограниченность функции:
   По теореме о непрерывной функции на замкнутом и ограниченном промежутке, $f(x)$ является ограниченной на $[a, b]$. Это значит, что существует такая константа $M > 0$, что $|f(x)| \leq M$ для всех $x \in [a, b]$.

2. Существование точек максимума и минимума:
   Замкнутый и ограниченный промежуток $[a, b]$ является компактом. Непрерывная функция на компакте достигает своих точных верхних и нижних граней. Это следует из общего свойства компактных множеств в $\mathbb{R}$: супремум и инфимум достигаются в конкретных точках.

3. Пусть $M = \sup \{ f(x) \,|\, x \in [a, b] \}$ и $m = \inf \{ f(x) \,|\, x \in [a, b] \}$. Тогда существуют такие точки $x_{\text{max}}, x_{\text{min}} \in [a, b]$, что $f(x_{\text{max}}) = M$ и $f(x_{\text{min}}) = m$.

Таким образом, $f(x)$ достигает наибольшего и наименьшего значения на промежутке $[a, b]$.

---

Контрпримеры, демонстрирующие важность условий:

1. Если функция не непрерывна:
   Рассмотрим функцию ( f(x) = \begin{cases} 1, & x \neq 0, \ 2, & x = 0 \end{cases} ) на промежутке $[0, 1]$.
   Функция разрывна в точке $x = 0$ и не достигает наибольшего значения, так как значение $f(x) = 2$ возникает только в одной точке, но для всех остальных точек $f(x) = 1$.

2. Если промежуток не замкнут:
   Пусть $f(x) = x$ на интервале $(0, 1)$.
   Так как $[0, 1]$ не является замкнутым, функция не достигает ни минимума, ни максимума (значения 0 и 1 не входят в интервал).

3. Если промежуток не ограничен:
   Пусть $f(x) = \frac{1}{x}$ на промежутке $(1, \infty)$.
   Здесь $[1, \infty)$ неограничен, и $f(x)$ не достигает своего наибольшего значения.

---

Вывод:
Условия непрерывности функции и замкнутости и ограниченности промежутка в теореме Вейерштрасса являются существенными: при их нарушении теорема становится неверной.

---

Вопросы:

1. Какой общий принцип лежит в основе достижения экстремумов на компакте?
2. Почему ограниченность промежутка является необходимым условием?
3. Каким образом доказательство связано с теоремой Больцано-Вейерштрасса?
4. Можно ли обобщить первую теорему Вейерштрасса на другие пространства?
5. Какие еще свойства функций на компактных множествах важны для анализа?

Совет:

Изучите связь теоремы Вейерштрасса с другими фундаментальными результатами анализа, такими как теорема Больцано-Вейерштрасса и теорема Кантора, чтобы глубже понять поведение функций на компактах.