För att bestämma en vektor som har längden $34$ och motsatt riktning till vektorn $\overrightarrow{c} = (8, -15)$, följer vi dessa steg:

---

Steg 1: Beräkna längden av $\overrightarrow{c}$

Formeln för en vektors längd är: $|\overrightarrow{c}| = \sqrt{x^2 + y^2}$ För $\overrightarrow{c} = (8, -15)$: $|\overrightarrow{c}| = \sqrt{8^2 + (-15)^2} = \sqrt{64 + 225} = \sqrt{289} = 17$

---

Steg 2: Enhetsvektor i motsatt riktning

En enhetsvektor som är motsatt $\overrightarrow{c}$ ges av: $\overrightarrow{u} = -\frac{\overrightarrow{c}}{|\overrightarrow{c}|}$ Det innebär: $\overrightarrow{u} = -\frac{(8, -15)}{17} = \left(-\frac{8}{17}, \frac{15}{17}\right)$

---

Steg 3: Skalera till längden $34$

För att få en vektor med längden $34$ multiplicerar vi enhetsvektorn $\overrightarrow{u}$ med $34$: $\overrightarrow{v} = 34 \cdot \overrightarrow{u}$ Beräkna: $\overrightarrow{v} = 34 \cdot \left(-\frac{8}{17}, \frac{15}{17}\right) = \left(-34 \cdot \frac{8}{17}, 34 \cdot \frac{15}{17}\right)$ $\overrightarrow{v} = (-16, 30)$

---

Slutgiltigt svar:

Vektorn som har längden $34$ och motsatt riktning till $\overrightarrow{c}$ är: $\overrightarrow{v} = (-16, 30)$

Vill du ha fler detaljer eller förklaring? Här är några relaterade frågor att utforska:

1. Hur beräknar man en enhetsvektor i en specifik riktning?
2. Varför delar man med längden för att hitta enhetsvektorn?
3. Hur hanterar man tredimensionella vektorer i liknande problem?
4. Kan du visualisera resultatet i ett koordinatsystem?
5. Hur påverkas vektorns riktning av skalära multiplikationer?

Tips: Om du skaländrar en vektor påverkar bara dess längd, inte dess riktning (såvida inte faktorn är negativ).