Die Aufgabe 1 des Übungsblattes befasst sich mit den Vektoridentitäten von Gradient, Divergenz und Rotation. Sie können anhand der gegebenen mathematischen Ausdrücke für Skalarfelder $s$ und Vektorfelder $\vec{a}, \vec{b}$ bewiesen werden. Hier ist eine Lösungsskizze für die einzelnen Teile:

Teil a) $\nabla \times (\nabla s) = 0$

Die Rotation des Gradienten eines Skalarfeldes ist immer null, da der Gradient ein konservatives Feld ist. Formal:

$(\nabla \times \nabla s)_i = \epsilon_{ijk} \frac{\partial^2 s}{\partial x_j \partial x_k}$

Da $\frac{\partial^2 s}{\partial x_j \partial x_k} = \frac{\partial^2 s}{\partial x_k \partial x_j}$ (Schwarzsche Satz), verschwindet das antisymmetrische Levi-Civita-Symbol, also $\nabla \times (\nabla s) = 0$.

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Teil b) $\nabla \cdot (\nabla \times \vec{a}) = 0$

Die Divergenz der Rotation eines Vektorfeldes ist immer null, weil die Rotation lokal keinen Fluss erzeugt:

$\nabla \cdot (\nabla \times \vec{a}) = \frac{\partial}{\partial x_i} (\epsilon_{ijk} \frac{\partial a_k}{\partial x_j}) = \epsilon_{ijk} \frac{\partial^2 a_k}{\partial x_i \partial x_j}$

Da $\frac{\partial^2 a_k}{\partial x_i \partial x_j} = \frac{\partial^2 a_k}{\partial x_j \partial x_i}$, verschwindet das antisymmetrische Symbol.

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Teil c) $\nabla \times (\nabla \times \vec{a}) = \nabla (\nabla \cdot \vec{a}) - \nabla^2 \vec{a}$

Anwendung der Vektoridentitätsregel:

$\nabla \times (\nabla \times \vec{a}) = \nabla (\nabla \cdot \vec{a}) - (\nabla \cdot \nabla) \vec{a}$

Hierbei ist $\nabla^2 \vec{a}$ der Laplace-Operator, der auf das Vektorfeld $\vec{a}$ angewendet wird.

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Teil d) $\nabla \cdot (s \vec{a}) = \vec{a} \cdot (\nabla s) + s (\nabla \cdot \vec{a})$

Anwendung der Produktregel:

$\nabla \cdot (s \vec{a}) = \frac{\partial}{\partial x_i} (s a_i) = (\frac{\partial s}{\partial x_i} a_i) + (s \frac{\partial a_i}{\partial x_i})$

Dies ergibt die Identität.

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Teil e) $\nabla \times (s \vec{a}) = (\nabla s) \times \vec{a} + s (\nabla \times \vec{a})$

Anwendung der Produktregel für die Rotation:

$(\nabla \times (s \vec{a}))_i = \epsilon_{ijk} \frac{\partial}{\partial x_j} (s a_k) = \epsilon_{ijk} \left( \frac{\partial s}{\partial x_j} a_k + s \frac{\partial a_k}{\partial x_j} \right)$

Die Umordnung ergibt den gesuchten Ausdruck.

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Weiteres Vorgehen

Falls Sie an einer ausführlichen Lösung zu den restlichen Teilen oder anderen Aufgaben interessiert sind, lassen Sie es mich wissen.

Vertiefende Fragen:

1. Wie leitet man die Identität für $\nabla \times (\nabla \times \vec{a})$ geometrisch her?
2. Welche Bedeutung hat die Divergenz der Rotation eines Feldes in der Physik?
3. Wie kann die Schwarzsche Symmetriebedingung $\frac{\partial^2 f}{\partial x_i \partial x_j} = \frac{\partial^2 f}{\partial x_j \partial x_i}$ nachgewiesen werden?
4. Was bedeutet der Laplace-Operator $\nabla^2$ in Bezug auf Vektorfelder?
5. Welche physikalischen Anwendungen haben die Vektoroperationen Divergenz und Rotation?

Tipp:

Nutzen Sie die Vektoridentitäten, um komplizierte Operationen zu vereinfachen, insbesondere in elektromagnetischen Feldern oder Strömungsmechanik!