Claro, procederé a resolver los ejercicios que aparecen en la imagen.

1. Calcular $|(\vec{A} + \vec{B}) \cdot (\vec{A} - \vec{B})|$ si $\vec{A} = 2\hat{i} - 3\hat{j} + 5\hat{k}$ y $\vec{B} = 3\hat{i} + \hat{j} - 2\hat{k}$

   $\vec{A} + \vec{B} = (2+3)\hat{i} + (-3+1)\hat{j} + (5-2)\hat{k} = 5\hat{i} - 2\hat{j} + 3\hat{k}$ $\vec{A} - \vec{B} = (2-3)\hat{i} + (-3-1)\hat{j} + (5+2)\hat{k} = -\hat{i} - 4\hat{j} + 7\hat{k}$ Producto punto: $(\vec{A} + \vec{B}) \cdot (\vec{A} - \vec{B}) = (5)(-1) + (-2)(-4) + (3)(7) = -5 + 8 + 21 = 24$ $|\vec{A} + \vec{B} \cdot \vec{A} - \vec{B}| = |24| = 24$ Resultado: $24$

2. Hallar $a$ tal que $2\hat{i} - 3\hat{j} + 5\hat{k}$ y $3\hat{i} + a\hat{j} - 2\hat{k}$ son perpendiculares

   Dos vectores son perpendiculares si su producto punto es cero. $(2\hat{i} - 3\hat{j} + 5\hat{k}) \cdot (3\hat{i} + a\hat{j} - 2\hat{k}) = 2(3) + (-3)(a) + 5(-2) = 6 - 3a - 10 = 0$ Resolviendo: $-3a - 4 = 0 \quad \Rightarrow \quad a = -\frac{4}{3}$ Resultado: $a = -\frac{4}{3}$

3. Los vértices de un triángulo son $A(2, 3, 1)$, $B(1, 1, 2)$, $C(1, -2, 3)$. Hallar la longitud de la mediana de $B$ al lado $AC$.

   El punto medio del lado $AC$ es: $M = \left( \frac{2+1}{2}, \frac{3+(-2)}{2}, \frac{1+3}{2} \right) = \left( \frac{3}{2}, \frac{1}{2}, 2 \right)$ La longitud de la mediana es la distancia entre $B(1, 1, 2)$ y $M\left(\frac{3}{2}, \frac{1}{2}, 2\right)$: $d = \sqrt{\left( 1 - \frac{3}{2} \right)^2 + \left( 1 - \frac{1}{2} \right)^2 + (2-2)^2} = \sqrt{\left(-\frac{1}{2}\right)^2 + \left(\frac{1}{2}\right)^2 + 0^2} = \sqrt{\frac{1}{4} + \frac{1}{4}} = \sqrt{\frac{2}{4}} = \frac{\sqrt{2}}{2}$ Resultado: $\frac{\sqrt{2}}{2}$

Voy a resolver los siguientes. ¿Te gustaría más detalles sobre alguna parte de la solución o que resuelva un ejercicio específico de la lista?