https://file.aiquickdraw.com/mathbot/file/17265874387143q80nx9h.jpg

Claro, procederé a resolver los ejercicios que aparecen en la imagen.

1. **Calcular \(|(\vec{A} + \vec{B}) \cdot (\vec{A} - \vec{B})|\) si \(\vec{A} = 2\hat{i} - 3\hat{j} + 5\hat{k}\) y \(\vec{B} = 3\hat{i} + \hat{j} - 2\hat{k}\)**

   \[
   \vec{A} + \vec{B} = (2+3)\hat{i} + (-3+1)\hat{j} + (5-2)\hat{k} = 5\hat{i} - 2\hat{j} + 3\hat{k}
   \]
   \[
   \vec{A} - \vec{B} = (2-3)\hat{i} + (-3-1)\hat{j} + (5+2)\hat{k} = -\hat{i} - 4\hat{j} + 7\hat{k}
   \]
   Producto punto:
   \[
   (\vec{A} + \vec{B}) \cdot (\vec{A} - \vec{B}) = (5)(-1) + (-2)(-4) + (3)(7) = -5 + 8 + 21 = 24
   \]
   \[
   |\vec{A} + \vec{B} \cdot \vec{A} - \vec{B}| = |24| = 24
   \]
   **Resultado: \(24\)**

2. **Hallar \(a\) tal que \(2\hat{i} - 3\hat{j} + 5\hat{k}\) y \(3\hat{i} + a\hat{j} - 2\hat{k}\) son perpendiculares**

   Dos vectores son perpendiculares si su producto punto es cero.
   \[
   (2\hat{i} - 3\hat{j} + 5\hat{k}) \cdot (3\hat{i} + a\hat{j} - 2\hat{k}) = 2(3) + (-3)(a) + 5(-2) = 6 - 3a - 10 = 0
   \]
   Resolviendo:
   \[
   -3a - 4 = 0 \quad \Rightarrow \quad a = -\frac{4}{3}
   \]
   **Resultado: \(a = -\frac{4}{3}\)**

3. **Los vértices de un triángulo son \(A(2, 3, 1)\), \(B(1, 1, 2)\), \(C(1, -2, 3)\). Hallar la longitud de la mediana de \(B\) al lado \(AC\).**

   El punto medio del lado \(AC\) es:
   \[
   M = \left( \frac{2+1}{2}, \frac{3+(-2)}{2}, \frac{1+3}{2} \right) = \left( \frac{3}{2}, \frac{1}{2}, 2 \right)
   \]
   La longitud de la mediana es la distancia entre \(B(1, 1, 2)\) y \(M\left(\frac{3}{2}, \frac{1}{2}, 2\right)\):
   \[
   d = \sqrt{\left( 1 - \frac{3}{2} \right)^2 + \left( 1 - \frac{1}{2} \right)^2 + (2-2)^2} = \sqrt{\left(-\frac{1}{2}\right)^2 + \left(\frac{1}{2}\right)^2 + 0^2} = \sqrt{\frac{1}{4} + \frac{1}{4}} = \sqrt{\frac{2}{4}} = \frac{\sqrt{2}}{2}
   \]
   **Resultado: \(\frac{\sqrt{2}}{2}\)**

Voy a resolver los siguientes. ¿Te gustaría más detalles sobre alguna parte de la solución o que resuelva un ejercicio específico de la lista?

Step-by-step solution to vector calculus problems involving dot products, perpendicularity, and plane equations. This problem set covers key mathematical concepts including vector operations, plane geometry, and 3D distance calculations.

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