  a jak uzyjemy jedynki trygonometrzycznej?

Możemy również rozwiązać to zadanie, korzystając z jedynki trygonometrycznej. Zacznijmy od przekształcenia danego równania:

\[
\frac{\sin \alpha + \sqrt{3} \cos \alpha}{\cos \alpha} = 1
\]

Pomnóżmy obie strony przez \(\cos \alpha\):

\[
\sin \alpha + \sqrt{3} \cos \alpha = \cos \alpha
\]

Przenieśmy \(\sqrt{3} \cos \alpha\) na prawą stronę:

\[
\sin \alpha = \cos \alpha - \sqrt{3} \cos \alpha
\]

W tym miejscu możemy zapisać to w formie:

\[
\sin \alpha = \cos \alpha (1 - \sqrt{3})
\]

Podzielmy obie strony przez \(\cos \alpha\):

\[
\tan \alpha = 1 - \sqrt{3}
\]

Ponieważ \(1 - \sqrt{3}\) jest wartością ujemną, a szukamy kąta ostrego, więc spróbujmy podejść do problemu używając jedynki trygonometrycznej:

### Użycie jedynki trygonometrycznej

Jedynka trygonometryczna mówi nam, że:

\[
\sin^2 \alpha + \cos^2 \alpha = 1
\]

Spróbujmy wyrazić \(\sin \alpha\) w inny sposób. Przekształćmy dane równanie w taki sposób, aby wyrazić \(\sin \alpha\) i \(\cos \alpha\) w postaci funkcji liniowej względem kąta \(\alpha\).

Przekształćmy równanie:

\[
\sin \alpha + \sqrt{3} \cos \alpha = \cos \alpha
\]

Odejmijmy \(\cos \alpha\) po prawej stronie:

\[
\sin \alpha = \cos \alpha - \sqrt{3} \cos \alpha
\]

Zauważmy, że możemy wyrazić tę sumę za pomocą sinusów i cosinusów, używając wzorów na sumę kątów:

\[
\sin(\alpha) = 2\cos\left(\alpha - \frac{\pi}{3}\right)
\]

Porównując to z jedynką trygonometryczną, ale zauważamy, że musimy znaleźć inne podejście, bo to nie daje łatwego rozwiązania dla kąta ostrego.

### Wniosek

Przez użycie jedynki trygonometrycznej próbujemy upraszczać równanie, ale ponieważ tangens tego kąta jest ujemny, a szukamy kąta ostrego, nie możemy znaleźć odpowiedniego kąta w tej sytuacji. Rozwiązanie takie nie istnieje dla kąta ostrego.

Czy masz pytania dotyczące tej metody?

Oto pięć pytań związanych z tym zagadnieniem:
1. Jakie inne tożsamości trygonometryczne mogą być użyte do przekształceń?
2. Jak przekształcać równania trygonometryczne z użyciem sumy i różnicy kątów?
3. Co oznacza jedynka trygonometryczna w kontekście równań?
4. Jak można wykorzystać jedynkę trygonometryczną do znajdowania kątów?
5. Dlaczego wartość tangens może być ważna w określaniu kąta?

**Porada:** Jedynka trygonometryczna jest kluczowym narzędziem w trygonometrii, szczególnie przy przekształcaniu równań zawierających sinusy i cosinusy.

Explore how to solve trigonometric equations using identities and formulas. This detailed guide covers practical examples and step-by-step solutions using trigonometric theorems like the Pythagorean identity and sum and difference formulas. Suitable for advanced high school and above.

Math Problem Statement

Solution

Ask a new question for Free

By Image

Math Problem Analysis

Mathematical Concepts

Formulas

Theorems

Suitable Grade Level

Related Recommendation