Możemy również rozwiązać to zadanie, korzystając z jedynki trygonometrycznej. Zacznijmy od przekształcenia danego równania:

$\frac{\sin \alpha + \sqrt{3} \cos \alpha}{\cos \alpha} = 1$

Pomnóżmy obie strony przez $\cos \alpha$:

$\sin \alpha + \sqrt{3} \cos \alpha = \cos \alpha$

Przenieśmy $\sqrt{3} \cos \alpha$ na prawą stronę:

$\sin \alpha = \cos \alpha - \sqrt{3} \cos \alpha$

W tym miejscu możemy zapisać to w formie:

$\sin \alpha = \cos \alpha (1 - \sqrt{3})$

Podzielmy obie strony przez $\cos \alpha$:

$\tan \alpha = 1 - \sqrt{3}$

Ponieważ $1 - \sqrt{3}$ jest wartością ujemną, a szukamy kąta ostrego, więc spróbujmy podejść do problemu używając jedynki trygonometrycznej:

Użycie jedynki trygonometrycznej

Jedynka trygonometryczna mówi nam, że:

$\sin^2 \alpha + \cos^2 \alpha = 1$

Spróbujmy wyrazić $\sin \alpha$ w inny sposób. Przekształćmy dane równanie w taki sposób, aby wyrazić $\sin \alpha$ i $\cos \alpha$ w postaci funkcji liniowej względem kąta $\alpha$.

Przekształćmy równanie:

$\sin \alpha + \sqrt{3} \cos \alpha = \cos \alpha$

Odejmijmy $\cos \alpha$ po prawej stronie:

$\sin \alpha = \cos \alpha - \sqrt{3} \cos \alpha$

Zauważmy, że możemy wyrazić tę sumę za pomocą sinusów i cosinusów, używając wzorów na sumę kątów:

$\sin(\alpha) = 2\cos\left(\alpha - \frac{\pi}{3}\right)$

Porównując to z jedynką trygonometryczną, ale zauważamy, że musimy znaleźć inne podejście, bo to nie daje łatwego rozwiązania dla kąta ostrego.

Wniosek

Przez użycie jedynki trygonometrycznej próbujemy upraszczać równanie, ale ponieważ tangens tego kąta jest ujemny, a szukamy kąta ostrego, nie możemy znaleźć odpowiedniego kąta w tej sytuacji. Rozwiązanie takie nie istnieje dla kąta ostrego.

Czy masz pytania dotyczące tej metody?

Oto pięć pytań związanych z tym zagadnieniem:

1. Jakie inne tożsamości trygonometryczne mogą być użyte do przekształceń?
2. Jak przekształcać równania trygonometryczne z użyciem sumy i różnicy kątów?
3. Co oznacza jedynka trygonometryczna w kontekście równań?
4. Jak można wykorzystać jedynkę trygonometryczną do znajdowania kątów?
5. Dlaczego wartość tangens może być ważna w określaniu kąta?

Porada: Jedynka trygonometryczna jest kluczowym narzędziem w trygonometrii, szczególnie przy przekształcaniu równań zawierających sinusy i cosinusy.