要解决这个问题，我们需要理解函数的性质以及求解其图像与另一图像的交点。我们有以下信息：

1. 函数性质：

   函数 $f(x)$ 满足 $f(-x) = 2 - f(x)$。这意味着 $f(x)$ 是关于 $x = 0$ 轴对称的特殊函数性质。也就是说，如果 $f(a) = b$，那么 $f(-a) = 2 - b$。

2. 交点条件：

   函数 $y = x + \frac{1}{x}$ 与 $y = f(x)$ 的图像交点为 $(x_1, y_1), (x_2, y_2), \ldots, (x_m, y_m)$。我们要计算的是所有交点的横纵坐标之和，即 $\sum_{i=1}^{m}(x_i + y_i)$。

解题思路

1. 寻找交点方程

交点满足：

$f(x) = x + \frac{1}{x}$

我们需要找到 $x$ 使得 $f(x) = x + \frac{1}{x}$ 成立。

2. 使用函数的对称性质

根据函数性质 $f(-x) = 2 - f(x)$，如果 $f(x) = x + \frac{1}{x}$，那么：

$f(-x) = 2 - \left(x + \frac{1}{x}\right)$

同样需要满足：

$f(-x) = -x - \frac{1}{x}$

3. 代入函数性质解方程

解这个方程：

$2 - \left(x + \frac{1}{x}\right) = -x - \frac{1}{x}$

简化得：

$2 = 0$

这意味着没有解。我们需要回过头来看，是否有其他方法可以使用。

交点特征和总结

由于对称性质，我们实际上关注的是 $y_i = x_i + \frac{1}{x_i}$ 的特性。

设有交点：

• $x_i$ 处的函数值满足 $y_i = x_i + \frac{1}{x_i}$
• 而通过对称性，显然 $(x, x + \frac{1}{x})$ 与 $(-x, 2 - (x + \frac{1}{x}))$ 对称。

我们考虑 $\sum_{i=1}^{m} (x_i + y_i)$，由于函数的特殊对称性和性质：

$\sum_{i=1}^{m} (x_i + y_i) = \sum_{i=1}^{m} (x_i + (x_i + \frac{1}{x_i}))$

即：

$\sum_{i=1}^{m} (2x_i + \frac{1}{x_i})$

再考虑对称性质，正负 $x$ 的对称性使得这个和为：

$m \times 2 = 0$

（错误纠正）由于考虑对称性，等价于交点数与其性质抵消，因此：

总和为：

$\boxed{0}$

这一点是对称性导致，实质上对称互相抵消的结果。

如果有疑问或需要进一步细节，请告诉我。