Je pense que vous faites référence aux triplets pythagoriciens ou triplets pythagoriques. Un triplet pythagoricien est un ensemble de trois entiers naturels $(a, b, c)$ qui vérifient l'équation du théorème de Pythagore :

$a^2 + b^2 = c^2$

Cela signifie que ces trois nombres peuvent former les longueurs des côtés d'un triangle rectangle, où $c$ est l'hypoténuse, et $a$ et $b$ sont les deux autres côtés. Le terme "pythagoricien" fait référence au mathématicien grec Pythagore, qui est souvent associé à cette relation géométrique.

Propriétés des triplets pythagoriciens :

1. Triplets primitifs et non primitifs : Un triplet pythagoricien est dit primitif si les trois nombres $a, b$ et $c$ sont premiers entre eux, c'est-à-dire que leur plus grand commun diviseur est 1. Par exemple, $(3, 4, 5)$ est un triplet pythagoricien primitif, alors que $(6, 8, 10)$ est un triplet non primitif car il est obtenu en multipliant le triplet $(3, 4, 5)$ par 2.

2. Génération de triplets : Les triplets pythagoriciens peuvent être générés par la formule suivante, pour des entiers $m$ et $n$ où $m > n$ : $a = m^2 - n^2, \quad b = 2mn, \quad c = m^2 + n^2$ Cette méthode produit des triplets primitifs si $m$ et $n$ sont premiers entre eux et que $m - n$ est impair.

3. Divisibilité : Dans chaque triplet pythagoricien, au moins l’un des nombres $a$ ou $b$ est divisible par 3, au moins l’un est divisible par 4, et au moins l’un est divisible par 5.

4. Infinité des triplets : Il existe une infinité de triplets pythagoriciens, et on peut en générer un nombre infini en utilisant la formule donnée ci-dessus.

5. Applications en géométrie : Ces triplets sont utilisés en géométrie pour construire des triangles rectangles ayant des longueurs entières, ce qui est utile dans plusieurs domaines, comme la construction ou l'architecture.

Avez-vous des questions spécifiques sur les triplets pythagoriciens ou voulez-vous des détails supplémentaires ?

Voici quelques questions pour approfondir :

1. Comment peut-on démontrer qu'il existe une infinité de triplets pythagoriciens ?
2. Quelles sont les différences entre un triplet primitif et non primitif ?
3. Pourquoi la formule pour générer des triplets pythagoriciens fonctionne-t-elle ?
4. Quelles applications concrètes peuvent découler des triplets pythagoriciens en dehors de la géométrie ?
5. Est-il possible de trouver des triplets pythagoriciens dans d'autres systèmes de nombres, comme les nombres complexes ?

Astuce : Un moyen rapide de vérifier si un ensemble de trois nombres est un triplet pythagoricien est d'appliquer l'équation $a^2 + b^2 = c^2$.