极限（Limit）是微积分中的一个基本概念，它描述了当一个变量趋近于某个特定值时，函数的行为。更正式地说，如果函数 $f(x)$ 在 $x$ 接近某个值 $a$ 时趋近于某个特定值 $L$，那么我们就说 $L$ 是 $f(x)$ 在 $a$ 处的极限，记作：

$\lim_{{x \to a}} f(x) = L$

如果 $x$ 可以任意接近 $a$（但不一定等于 $a$），而 $f(x)$ 趋近于 $L$，那么 $L$ 就是 $f(x)$ 的极限值。

极限在微积分中的作用

1. 定义导数：导数的定义是基于极限的。导数表示函数变化率，当 $x$ 非常接近 $a$ 时，函数 $f(x)$ 的变化率可以表示为：

   $f'(a) = \lim_{{h \to 0}} \frac{f(a+h) - f(a)}{h}$

   这里的 $h$ 趋近于 0，极限表示 $h$ 非常小的情况下，平均变化率的极限值。

2. 定义积分：定积分的定义也依赖于极限。定积分表示函数在某个区间上的累积和，可以表示为：

   $\int_{a}^{b} f(x) \, dx = \lim_{{n \to \infty}} \sum_{{i=1}}^{n} f(x_i) \Delta x$

   这里，区间被划分为 $n$ 个子区间，每个子区间的长度是 $\Delta x$，当 $n$ 趋近于无穷大时，和的极限值就是定积分。

3. 连续性：函数的连续性也由极限来定义。如果函数 $f(x)$ 在 $x=a$ 处是连续的，那么它满足：

   $\lim_{{x \to a}} f(x) = f(a)$

   这意味着，当 $x$ 非常接近 $a$ 时，$f(x)$ 的值非常接近 $f(a)$。

4. 极限求值技巧：微积分中的很多计算技巧，包括洛必达法则（用于解决某些未定形式的极限）和泰勒级数展开（用于近似复杂函数），都基于极限的概念。

5. 定义无穷小量和无穷大量：在微积分中，无穷小量和无穷大量的概念也依赖于极限。例如，当 $x$ 趋近于无穷大时，函数的极限可以帮助我们理解函数的增长行为。

你可以问的其他问题：

1. 如何计算一个函数的极限？
2. 什么是洛必达法则，它如何用于计算极限？
3. 如何使用极限定义导数和积分？
4. 什么是泰勒级数展开及其应用？
5. 极限在处理未定形式时有哪些应用？

小贴士：

在学习极限和微积分时，务必理解极限的精确定义和性质，这样才能更好地掌握导数和积分的计算方法和应用场景。

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