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Usando integración trigonométrica, cual seria la respuesta

La integral que has proporcionado es:

\[
\int \sin^2(2x) \cos^2(2x) \, dx
\]

Procederemos a resolverla usando **identidades trigonométricas** para simplificarla. Aquí está el paso a paso:

### Paso 1: Aplicación de identidad de producto
Usamos la identidad trigonométrica:

\[
\sin^2(\theta) \cos^2(\theta) = \frac{1 - \cos(4\theta)}{8}
\]

En este caso, \(\theta = 2x\), por lo que:

\[
\sin^2(2x) \cos^2(2x) = \frac{1 - \cos(8x)}{8}
\]

### Paso 2: Reemplazo en la integral
La integral se transforma en:

\[
\int \frac{1 - \cos(8x)}{8} \, dx
\]

Podemos sacar el \( \frac{1}{8} \) fuera de la integral:

\[
\frac{1}{8} \int \left( 1 - \cos(8x) \right) \, dx
\]

### Paso 3: Resolver las integrales
Ahora resolvemos las dos integrales separadas:

\[
\int 1 \, dx = x
\]

\[
\int \cos(8x) \, dx = \frac{\sin(8x)}{8}
\]

### Paso 4: Sustitución de los resultados
Sustituimos los resultados obtenidos:

\[
\frac{1}{8} \left( x - \frac{\sin(8x)}{8} \right) + C
\]

Donde \(C\) es la constante de integración.

### Resultado Final
La integral completa es:

\[
\frac{x}{8} - \frac{\sin(8x)}{64} + C
\]

---

¿Quieres alguna explicación adicional o tienes preguntas?

Aquí tienes algunas preguntas relacionadas:
1. ¿Cómo se deriva la identidad \(\sin^2(\theta) \cos^2(\theta) = \frac{1 - \cos(4\theta)}{8}\)?
2. ¿Qué otras técnicas de integración pueden aplicarse a integrales trigonométricas?
3. ¿Qué sucede si en vez de \(\sin^2(2x)\) tuviéramos un exponente impar?
4. ¿Cómo se aplican las sustituciones trigonométricas en integrales con raíces cuadradas?
5. ¿Qué otros ejemplos de integrales involucran productos de senos y cosenos?

**Tip:** Es útil memorizar algunas identidades trigonométricas dobles y potencias para simplificar cálculos rápidamente.

Learn how to solve the trigonometric integral ∫ sin^2(2x) cos^2(2x) dx using product-to-sum identities and basic integration techniques. This solution breaks down the problem step by step and includes all necessary trigonometric formulas. Suitable for university-level calculus students.

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