فایل شما بارگذاری شد، اکنون برای ترجمه و اثبات مقاله، ابتدا محتوای آن را بررسی می‌کنم. اجازه دهید فایل را باز کنم و بخش‌های مهم را برای ترجمه و اثبات استخراج کنم. PyPDF2 import PdfReader

Load the uploaded PDF file

file_path = '/mnt/data/1736674720389gpwnendr.pdf' reader = PdfReader(file_path)

Extract text from all pages of the PDF

extracted_text = '' for page in reader.pages: extracted_text += page.extract_text()

Show a preview of the extracted text to understand its content

extracted_text[:2000] # Display the first 2000 characters to get an idea of the contentمقاله‌ای که آپلود کرده‌اید به نظر می‌رسد درباره‌ی اعداد فیبوناچی و لوکاس است و چگونگی نمایش آنها با استفاده از توابع مثلثاتی. در این مقاله، ابتدا به معرفی اعداد فیبوناچی و لوکاس پرداخته شده و سپس به ارائه روابط و هویت‌های جالب و کاربردهای مختلف آنها، مانند ویژگی‌های تقسیم‌پذیری و دوران‌پذیری آنها در محیط‌های مختلف، اشاره شده است.

در ادامه، نویسنده‌ها از یک هویت چندجمله‌ای استفاده کرده‌اند که اعداد فیبوناچی را به صورت توابع مثلثاتی بیان می‌کند، که این خود اثبات برخی ویژگی‌های قدیمی و جدید در خصوص این اعداد را به همراه دارد.

آیا تمایل دارید بخش خاصی از مقاله را ترجمه یا اثبات کنم؟ یا کل مقاله مورد نظر شماست؟