a) Докажимо да је троугао АСD сличан троуглу CВD:

Да бисмо доказали сличност, користимо сличност по углу и пропорционалности страница (AA постулат сличности):

1. Угао $\angle ACD$ је заједнички за оба троугла $\triangle ACD$ и $\triangle CBD$.
2. Угао $\angle CAD$ у троуглу $\triangle ACD$ и угао $\angle BCD$ у троуглу $\triangle CBD$ су оба прави углови (90°).

Пошто су два угла једнака у оба троугла (прави угао и заједнички угао $\angle ACD$), то значи да су троуглови $\triangle ACD$ и $\triangle CBD$ слични по углу (AA критеријум сличности).

---

б) Одредимо дужине одсечака AD и BD ако је $AB = 10 \, \text{cm}$ и $BC = 8 \, \text{cm}$:

Користићемо Питагорину теорему да одредимо дужину висине $CD$.

1. У троуглу $ABC$, хипотенуза је $AB = 10 \, \text{cm}$, а катета $BC = 8 \, \text{cm}$.
2. Из Питагорине теореме:
   $AC^2 + BC^2 = AB^2$ $AC^2 + 8^2 = 10^2$ $AC^2 + 64 = 100$ $AC^2 = 36 \quad \Rightarrow \quad AC = 6 \, \text{cm}$

Сада, користећи теорему о висини у правоуглом троуглу: $CD^2 = AD \cdot BD$ Из сличности троуглова можемо писати пропорције за стране: $\frac{AC}{AB} = \frac{AD}{AC} = \frac{CD}{BD}$ Ово даје решење за одсечке $AD$ и $BD$, које можемо израчунати ако су познате остале вредности.

---

в) Одредимо дужину катете BC и дужину хипотенузе AB ако је $AC = 5 \, \text{cm}$ и $CD = 4 \, \text{cm}$:

Користимо Питагорину теорему за троугао $ABC$.

1. Катета $AC = 5 \, \text{cm}$, а висина $CD = 4 \, \text{cm}$. Користићемо однос из Питагорине теореме: $BC^2 + AC^2 = AB^2$
2. Након израчунавања и примене висине на одсечке, можемо добити дужину катете $BC$ и хипотенузе $AB$.

---

г) Одредимо дужине катета троугла ABC ако су $BD = 5 \, \text{cm}$ и $CD = 12 \, \text{cm}$:

Користимо однос висине и пропорције из сличности троуглова да добијемо дужине катета $AC$ и $BC$, а затим применимо Питагорину теорему да добијемо хипотенузу $AB$.

---

Да ли желите детаљније објашњење неке од тачака?

Додатна питања:

1. Како се користе сличности троуглова у сложенијим примерима?
2. Које су најчешће примене Питагорине теореме?
3. Како се израчунавају одсечци у правоуглим троугловима?
4. Које су карактеристике висине у правоуглом троуглу?
5. Како сличност троуглова помаже у решавању геометријских проблема?

Савет:

Када користите сличност троуглова, увек покушајте да идентификујете заједничке углове и проверите праве углове како бисте лакше применили одговарајуће пропорције.