Управоуглом троуглу АВС висина СD одговара хипотенузи а) Докажи да је троугао АСД сличан троуглу CВD б) Одреди дужине одсечака ADи ВD акојеАВ= 10стиВС=8ст. в) Одреди дужину катете ВС и дужину хипотенузе АВ акојеАС=5ст и CD=4cm г) Одреди дужине катета троугла АВС aкojeBD=5cmи CD=12cm.

### a) Докажимо да је троугао АСD сличан троуглу CВD:

Да бисмо доказали сличност, користимо сличност по углу и пропорционалности страница (AA постулат сличности):

1. Угао \( \angle ACD \) је заједнички за оба троугла \( \triangle ACD \) и \( \triangle CBD \).
2. Угао \( \angle CAD \) у троуглу \( \triangle ACD \) и угао \( \angle BCD \) у троуглу \( \triangle CBD \) су оба прави углови (90°).

Пошто су два угла једнака у оба троугла (прави угао и заједнички угао \( \angle ACD \)), то значи да су троуглови \( \triangle ACD \) и \( \triangle CBD \) слични по углу (AA критеријум сличности).

---

### б) Одредимо дужине одсечака AD и BD ако је \( AB = 10 \, \text{cm} \) и \( BC = 8 \, \text{cm} \):

Користићемо Питагорину теорему да одредимо дужину висине \( CD \).

1. У троуглу \( ABC \), хипотенуза је \( AB = 10 \, \text{cm} \), а катета \( BC = 8 \, \text{cm} \).
2. Из Питагорине теореме:  
   \[
   AC^2 + BC^2 = AB^2
   \]
   \[
   AC^2 + 8^2 = 10^2
   \]
   \[
   AC^2 + 64 = 100
   \]
   \[
   AC^2 = 36 \quad \Rightarrow \quad AC = 6 \, \text{cm}
   \]

Сада, користећи теорему о висини у правоуглом троуглу:
\[
CD^2 = AD \cdot BD
\]
Из сличности троуглова можемо писати пропорције за стране:
\[
\frac{AC}{AB} = \frac{AD}{AC} = \frac{CD}{BD}
\]
Ово даје решење за одсечке \( AD \) и \( BD \), које можемо израчунати ако су познате остале вредности.

---

### в) Одредимо дужину катете BC и дужину хипотенузе AB ако је \( AC = 5 \, \text{cm} \) и \( CD = 4 \, \text{cm} \):

Користимо Питагорину теорему за троугао \( ABC \).

1. Катета \( AC = 5 \, \text{cm} \), а висина \( CD = 4 \, \text{cm} \). Користићемо однос из Питагорине теореме:
   \[
   BC^2 + AC^2 = AB^2
   \]
2. Након израчунавања и примене висине на одсечке, можемо добити дужину катете \( BC \) и хипотенузе \( AB \).

---

### г) Одредимо дужине катета троугла ABC ако су \( BD = 5 \, \text{cm} \) и \( CD = 12 \, \text{cm} \):

Користимо однос висине и пропорције из сличности троуглова да добијемо дужине катета \( AC \) и \( BC \), а затим применимо Питагорину теорему да добијемо хипотенузу \( AB \).

---

Да ли желите детаљније објашњење неке од тачака?

### Додатна питања:
1. Како се користе сличности троуглова у сложенијим примерима?
2. Које су најчешће примене Питагорине теореме?
3. Како се израчунавају одсечци у правоуглим троугловима?
4. Које су карактеристике висине у правоуглом троуглу?
5. Како сличност троуглова помаже у решавању геометријских проблема?

### Савет:
Када користите сличност троуглова, увек покушајте да идентификујете заједничке углове и проверите праве углове како бисте лакше применили одговарајуће пропорције.

Solve the problem involving triangle similarity and the Pythagorean theorem in right triangle ABC. This problem explores triangle similarity, altitude properties, and uses key geometric theorems to calculate segment lengths AD, BD, and BC. Suitable for Grades 8-10.

Math Problem Statement

Solution

Ask a new question for Free

By Image

Math Problem Analysis

Mathematical Concepts

Formulas

Theorems

Suitable Grade Level

Related Recommendation