Math Problem Statement

已知AD是AABC中BC边上的中线,AB=4,AC=6,则AD长的取值范围是()

Solution

我们要解这个问题,首先要理解题目中的条件:

  • ADAD 是三角形 ABCABCBCBC 边上的中线,因此 DDBCBC 边的中点。
  • AB=4AB = 4AC=6AC = 6

根据中线定理,三角形的中线 ADAD 长度与三角形的三边长度相关。对于三角形 ABCABC,中线 ADAD 的长度 mam_a 由以下公式给出:

ma=2b2+2c2a24m_a = \sqrt{\frac{2b^2 + 2c^2 - a^2}{4}}

其中:

  • aaBCBC 边的长度
  • bbACAC 边的长度
  • ccABAB 边的长度

已知 b=6b = 6c=4c = 4,我们需要求 mam_a 的值,也就是 ADAD 的长度。首先需要确定 BCBC 边的长度 aa

根据三角形的三边关系(即三角形不等式),我们有以下三条不等式:

  1. AB+AC>BCAB + AC > BC,即 4+6>a4 + 6 > a,所以 a<10a < 10
  2. AB+BC>ACAB + BC > AC,即 4+a>64 + a > 6,所以 a>2a > 2
  3. AC+BC>ABAC + BC > AB,即 6+a>46 + a > 4,这条不等式是显然成立的。

因此, aa 的取值范围是 2<a<102 < a < 10

现在,我们可以使用中线定理来计算 ADAD 的取值范围。代入公式:

AD=2(62)+2(42)a24=2(36)+2(16)a24=72+32a24=104a24=104a22AD = \sqrt{\frac{2(6^2) + 2(4^2) - a^2}{4}} = \sqrt{\frac{2(36) + 2(16) - a^2}{4}} = \sqrt{\frac{72 + 32 - a^2}{4}} = \sqrt{\frac{104 - a^2}{4}} = \frac{\sqrt{104 - a^2}}{2}

要找到 ADAD 的取值范围,首先我们需要 aa 的最大和最小值。

  • a=2a = 2 时,AD=10442=1002=5AD = \frac{\sqrt{104 - 4}}{2} = \frac{\sqrt{100}}{2} = 5
  • a=10a = 10 时,AD=1041002=42=1AD = \frac{\sqrt{104 - 100}}{2} = \frac{\sqrt{4}}{2} = 1

因此,ADAD 的取值范围是 1AD51 \leq AD \leq 5

结论:

ADAD 的取值范围是 1AD51 \leq AD \leq 5


如果你需要更详细的推导过程或其他相关问题,欢迎告诉我!以下是一些扩展问题:

  1. 如何推导三角形的中线定理?
  2. 如何利用三角形不等式求解三角形的边长范围?
  3. 中线定理在其他几何问题中的应用有哪些?
  4. 如何证明三角形的中线将三角形分成面积相等的两部分?
  5. 在不同类型的三角形中,中线的性质有什么不同?

小提示:三角形不等式不仅用于边长之间的关系,也能帮助你判断是否可以构成三角形。

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Math Problem Analysis

Mathematical Concepts

Triangle Geometry
Median
Inequality in Triangles
Pythagorean Theorem

Formulas

中线定理: AD = √((2b^2 + 2c^2 - a^2)/4)

Theorems

中线定理
三角形不等式

Suitable Grade Level

Grades 9-10