R^2  において点  (0, -\frac{\sqrt{3}}{2})  を基点とし、曲線  x^2 + 3y^2 + 2\sqrt{3}y = 0  を y 軸方向に \sqrt{3} 倍した曲線の方程式を求めなさい。

まず、与えられた曲線の方程式を確認します：

\[ x^2 + 3y^2 + 2\sqrt{3}y = 0 \]

この曲線を \( y \) 軸方向に \(\sqrt{3}\) 倍することを考えます。\( y \) 軸方向に \(\sqrt{3}\) 倍する変換は、\( y \) を \(\frac{y}{\sqrt{3}}\) に置き換えることと同じです。したがって、\( y \) を \(\frac{y}{\sqrt{3}}\) に置き換えて新しい曲線の方程式を求めます。

元の方程式に \( y \) を \(\frac{y}{\sqrt{3}}\) に置き換えると、

\[ x^2 + 3 \left( \frac{y}{\sqrt{3}} \right)^2 + 2\sqrt{3} \left( \frac{y}{\sqrt{3}} \right) = 0 \]

これを展開します。

\[ x^2 + 3 \left( \frac{y^2}{3} \right) + 2\sqrt{3} \left( \frac{y}{\sqrt{3}} \right) = 0 \]

\[ x^2 + y^2 + 2y = 0 \]

この方程式が、元の曲線を \( y \) 軸方向に \(\sqrt{3}\) 倍した後の新しい曲線の方程式です。

したがって、求める方程式は

\[ x^2 + y^2 + 2y = 0 \]

となります。

何かご質問や詳細の説明が必要ですか？以下の質問の中からお選びください：

1. 他の変換についての質問
2. 方程式のグラフの描き方について
3. 曲線の別の特徴を求める方法について
4. 変換の一般的な方法について
5. この問題の別の解法について

**ヒント**: 変換を行う際には、特定の軸方向に対するスケーリングや平行移動などの基本変換をしっかり理解しておくと便利です。

Explore how to transform the ellipse equation x^2 + y^2 + 2y = 0 by scaling it along the y-axis by sqrt(3). This problem involves conic sections and ellipse transformations, suitable for undergraduate level understanding.

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