برای اثبات ریاضی عبارت ارائه‌شده در تصویر، می‌توان آن را با استفاده از قوانین لگاریتم‌ها و روابط دما و ترمودینامیک بررسی کرد. عبارت اصلی در تصویر به این صورت است:

$\frac{\ln \gamma_i(T_2)}{\ln \gamma_i(T_1)} = \frac{T_1}{T_2}$

این رابطه نشان می‌دهد که نسبت لگاریتم‌های فعالیت (activity coefficient) در دو دما با نسبت معکوس دماها ($T_1$ و $T_2$) متناسب است. حال بیایید آن را با توجه به ترمودینامیک اثبات کنیم:

اثبات:

1. طبق تعریف، لگاریتم فعالیت ($\ln \gamma_i$) به انرژی آزاد گیبس و وابستگی دما مربوط است. رابطه کلی به صورت زیر است: $\ln \gamma_i = - \frac{\Delta G_{excess}}{RT}$ که در آن:

   • $\Delta G_{excess}$: انرژی آزاد اضافی (excess Gibbs energy)
   • $R$: ثابت گازها
   • $T$: دمای مطلق

2. فرض کنید انرژی آزاد اضافی $\Delta G_{excess}$ مستقل از دما باشد (این شرط در متن تصویر آورده شده است). بنابراین، مقدار $\ln \gamma_i$ در دو دما به صورت زیر نوشته می‌شود: $\ln \gamma_i(T_1) = - \frac{\Delta G_{excess}}{RT_1}$ و $\ln \gamma_i(T_2) = - \frac{\Delta G_{excess}}{RT_2}$

3. نسبت این دو عبارت به صورت زیر خواهد بود: $\frac{\ln \gamma_i(T_2)}{\ln \gamma_i(T_1)} = \frac{-\frac{\Delta G_{excess}}{RT_2}}{-\frac{\Delta G_{excess}}{RT_1}}$

4. با ساده‌سازی، داریم: $\frac{\ln \gamma_i(T_2)}{\ln \gamma_i(T_1)} = \frac{T_1}{T_2}$

نتیجه:

رابطه به صورت ریاضی اثبات شد و نشان داد که این نسبت فقط به دما وابسته است و $\Delta G_{excess}$ (انرژی آزاد اضافی) مستقل از دما در نظر گرفته شد.

سوالات مرتبط:

1. چرا $\Delta G_{excess}$ در این رابطه مستقل از دما فرض شده است؟
2. چگونه تغییر دما می‌تواند بر رفتار واقعی $\gamma_i$ تأثیر بگذارد؟
3. آیا این رابطه در سیستم‌های ایده‌آل هم قابل استفاده است؟
4. تاثیر تغییرات انرژی اضافی ($\Delta G_{excess}$) روی این فرمول چگونه خواهد بود؟
5. چگونه می‌توان این رابطه را در مسائل مهندسی شیمی اعمال کرد؟

یک نکته: در ترمودینامیک، فرض استقلال $\Delta G_{excess}$ از دما تقریب مناسبی است، اما در برخی سیستم‌ها ممکن است به دلیل وابستگی به دما تغییر کند.