Sebuah gelas berisi air medidih diletakkan dalam ruangan yang 
temperaturnya 20 oC. Secara termodinamika, laju perubahan temperatur 
air, 𝑦(𝑡), memenuhi hubungan 𝑑𝑦/𝑑𝑡 = 0,1(𝑦 − 20). Tentukan temperatur air 
tersebut setelah 40 detik!

Soal ini menggunakan Hukum Pendinginan Newton, yang menyatakan bahwa laju perubahan suhu benda sebanding dengan perbedaan suhu benda dengan suhu lingkungannya. Persamaan diferensial yang diberikan:

\[
\frac{dy}{dt} = 0,1(y - 20)
\]

dapat diselesaikan untuk mencari suhu air setelah 40 detik.

### Langkah Penyelesaian

1. **Tentukan kondisi awal**: Misalkan pada waktu \( t = 0 \), suhu awal air adalah \( y(0) = y_0 \).

2. **Pisahkan variabel**: Ubah bentuk persamaan menjadi:

   \[
   \frac{1}{y - 20} \, dy = 0,1 \, dt
   \]

3. **Integrasikan kedua sisi**:

   \[
   \int \frac{1}{y - 20} \, dy = \int 0,1 \, dt
   \]

   Hasilnya:

   \[
   \ln |y - 20| = 0,1t + C
   \]

4. **Selesaikan untuk \( y \)**: Eksponensial kedua sisi untuk mendapatkan \( y \) dalam bentuk eksplisit:

   \[
   y - 20 = e^{0,1t + C} = Ae^{0,1t}
   \]

   sehingga:

   \[
   y = 20 + Ae^{0,1t}
   \]

   Di mana \( A \) adalah konstanta integrasi yang dapat ditemukan dengan kondisi awal.

5. **Substitusi kondisi awal**: Misalkan \( y(0) = y_0 \), maka:

   \[
   y_0 = 20 + A \cdot e^{0}
   \]

   Jadi \( A = y_0 - 20 \).

6. **Substitusi nilai \( A \) ke dalam persamaan**:

   \[
   y = 20 + (y_0 - 20)e^{0,1t}
   \]

7. **Hitung \( y \) setelah 40 detik**: Dengan \( t = 40 \) detik, maka suhu air setelah 40 detik adalah:

   \[
   y(40) = 20 + (y_0 - 20)e^{0,1 \cdot 40}
   \]

   \[
   y(40) = 20 + (y_0 - 20)e^4
   \]

Jika kita mengetahui suhu awal \( y_0 \), kita dapat menghitung nilai numerik \( y(40) \) dengan substitusi.

Apakah Anda memiliki nilai untuk suhu awal \( y_0 \)? 

Jika ada pertanyaan lebih lanjut, atau ingin menanyakan perhitungan lainnya, jangan ragu!

---

**Soal Terkait untuk Memperdalam Pemahaman:**

1. Bagaimana laju pendinginan berubah jika suhu lingkungan meningkat?
2. Bagaimana pengaruh koefisien \( 0,1 \) terhadap laju pendinginan?
3. Apa yang terjadi pada suhu air jika waktu mendekati tak hingga?
4. Bagaimana cara menyelesaikan soal serupa jika kondisi lingkungan berubah-ubah?
5. Bagaimana menentukan waktu yang diperlukan hingga suhu mencapai 30°C?

**Tip:** Persamaan diferensial sering muncul dalam soal termodinamika. Memahami cara pemisahan variabel dan integrasi sangat membantu menyelesaikan berbagai masalah serupa.

Sebuah gelas berisi air medidih diletakkan dalam ruangan yang temperaturnya 20 oC. Secara termodinamika, laju perubahan temperatur air, 𝑦(𝑡), memenuhi hubungan 𝑑𝑦/𝑑𝑡 = 0,1(𝑦 − 20). Tentukan temperatur air tersebut setelah 40 detik!

Learn how to calculate the temperature of boiling water left in a room at 20°C after 40 seconds using Newton’s Law of Cooling. This solution walks through differential equations, separation of variables, and integration to find the temperature change over time. Ideal for students in Grades 11-12.

Math Problem Statement

Solution

Ask a new question for Free

By Image

Math Problem Analysis

Mathematical Concepts

Formulas

Theorems

Suitable Grade Level

Related Recommendation