Um das Taylorpolynom zweiten Grades für die Funktion

$f(x) = \frac{1 - x}{1 + x}$

in einer Umgebung von $a = -3$ zu berechnen, müssen wir die ersten beiden Ableitungen der Funktion an der Stelle $x = -3$ bestimmen und dann das Taylorpolynom aufstellen.

1. Berechnung der Funktion und ihrer Ableitungen

Schritt 1: Berechnung der Funktion $f(x)$

Die Funktion ist gegeben durch:

$f(x) = \frac{1 - x}{1 + x}$

Schritt 2: Erste Ableitung $f'(x)$

Um die erste Ableitung zu berechnen, wenden wir die Quotientenregel an:

$f'(x) = \frac{(1 + x) \cdot (-1) - (1 - x) \cdot 1}{(1 + x)^2}$

Das ergibt:

$f'(x) = \frac{-1 - x - 1 + x}{(1 + x)^2} = \frac{-2}{(1 + x)^2}$

Schritt 3: Zweite Ableitung $f''(x)$

Für die zweite Ableitung wenden wir die Quotientenregel erneut auf $f'(x) = \frac{-2}{(1 + x)^2}$ an. Zunächst definieren wir den Zähler $u(x) = -2$ und den Nenner $v(x) = (1 + x)^2$. Dann gilt:

$f''(x) = \frac{(1 + x)^2 \cdot 0 - (-2) \cdot 2(1 + x)}{(1 + x)^4}$

Das vereinfacht sich zu:

$f''(x) = \frac{4(1 + x)}{(1 + x)^4} = \frac{4}{(1 + x)^3}$

2. Bestimmung der Funktionswerte und Ableitungen an $x = -3$

Schritt 1: Berechnung von $f(-3)$

Setzen wir $x = -3$ in die Funktion ein:

$f(-3) = \frac{1 - (-3)}{1 + (-3)} = \frac{4}{-2} = -2$

Schritt 2: Berechnung von $f'(-3)$

Setzen wir $x = -3$ in die erste Ableitung ein:

$f'(-3) = \frac{-2}{(1 - 3)^2} = \frac{-2}{4} = -\frac{1}{2}$

Schritt 3: Berechnung von $f''(-3)$

Setzen wir $x = -3$ in die zweite Ableitung ein:

$f''(-3) = \frac{4}{(1 - 3)^3} = \frac{4}{(-2)^3} = \frac{4}{-8} = -\frac{1}{2}$

3. Aufstellen des Taylorpolynoms zweiten Grades

Das Taylorpolynom zweiten Grades für $f(x)$ in der Umgebung von $x = -3$ lautet:

$T_2(x) = f(-3) + f'(-3)(x + 3) + \frac{f''(-3)}{2}(x + 3)^2$

Einsetzen der Werte:

$T_2(x) = -2 + \left(-\frac{1}{2}\right)(x + 3) + \frac{-\frac{1}{2}}{2}(x + 3)^2$

$T_2(x) = -2 - \frac{1}{2}(x + 3) - \frac{1}{4}(x + 3)^2$

4. Berechnung des Wertes des Polynoms an der Stelle $x_1 = -3,5$

Setzen wir $x_1 = -3,5$ in das Taylorpolynom ein:

$T_2(-3,5) = -2 - \frac{1}{2}(-3,5 + 3) - \frac{1}{4}(-3,5 + 3)^2$

$T_2(-3,5) = -2 - \frac{1}{2}(-0,5) - \frac{1}{4}(-0,5)^2$

$T_2(-3,5) = -2 + 0,25 - \frac{1}{4}(0,25)$

$T_2(-3,5) = -2 + 0,25 - 0,0625 = -1,8125$

5. Berechnung des Funktionswerts $f(-3,5)$

Setzen wir $x = -3,5$ in die ursprüngliche Funktion $f(x) = \frac{1 - x}{1 + x}$ ein:

$f(-3,5) = \frac{1 - (-3,5)}{1 + (-3,5)} = \frac{4,5}{-2,5} = -1,8$

6. Zusammenfassung

• Das Taylorpolynom zweiten Grades für die Funktion in der Umgebung von $a = -3$ lautet: $T_2(x) = -2 - \frac{1}{2}(x + 3) - \frac{1}{4}(x + 3)^2$

• Der Wert des Polynoms an der Stelle $x_1 = -3,5$ ist $T_2(-3,5) = -1,8125$.

• Der Funktionswert an der Stelle $x_1 = -3,5$ ist $f(-3,5) = -1,8$.

Fragen für weiteres Verständnis:

1. Was ist der Unterschied zwischen der Taylorreihe und dem Taylorpolynom?
2. Wie kann man das Taylorpolynom dritten Grades berechnen?
3. Was passiert mit dem Fehler, wenn man ein höheres Gradpolynom verwendet?
4. Wie würde das Polynom für eine andere Funktion (z.B. $g(x) = e^x$) aussehen?
5. Wie kann man den Fehler zwischen der Taylorapproximation und der tatsächlichen Funktion schätzen?

Tipp: Wenn der Fehler der Taylorapproximation klein sein soll, ist es hilfreich, möglichst viele Ableitungen zu berechnen und ein höhergradiges Polynom zu verwenden.