Untuk menentukan persamaan garis singgung lingkaran di titik $Q$, kita harus terlebih dahulu menentukan persamaan lingkarannya.

Langkah 1: Menentukan Persamaan Lingkaran

Persamaan umum lingkaran dengan pusat $P(h, k)$ dan jari-jari $r$ adalah:

$(x - h)^2 + (y - k)^2 = r^2$

Diketahui pusat lingkaran $P(-4, 3)$ dan lingkaran melalui titik $Q(2, 1)$. Maka, kita substitusikan $h = -4$ dan $k = 3$ ke dalam persamaan lingkaran:

$(x + 4)^2 + (y - 3)^2 = r^2$

Untuk menemukan $r^2$, kita gunakan jarak antara titik $P(-4, 3)$ dan $Q(2, 1)$, karena ini merupakan jari-jari lingkaran.

Jarak antara $P$ dan $Q$ adalah:

$r = \sqrt{(2 - (-4))^2 + (1 - 3)^2}$ $r = \sqrt{(2 + 4)^2 + (1 - 3)^2} = \sqrt{6^2 + (-2)^2} = \sqrt{36 + 4} = \sqrt{40} = 2\sqrt{10}$

Maka, $r^2 = 40$. Sehingga, persamaan lingkaran adalah:

$(x + 4)^2 + (y - 3)^2 = 40$

Langkah 2: Menentukan Persamaan Garis Singgung

Persamaan garis singgung lingkaran di titik $Q(x_1, y_1)$ untuk lingkaran dengan pusat $P(h, k)$ dan jari-jari $r$ adalah:

$(x_1 - h)(x - h) + (y_1 - k)(y - k) = r^2$

Substitusi nilai $h = -4$, $k = 3$, $x_1 = 2$, dan $y_1 = 1$:

$(2 - (-4))(x + 4) + (1 - 3)(y - 3) = 40$

Sederhanakan:

$(2 + 4)(x + 4) + (-2)(y - 3) = 40$ $6(x + 4) - 2(y - 3) = 40$ $6x + 24 - 2y + 6 = 40$ $6x - 2y + 30 = 40$ $6x - 2y = 10$

Bagi semua persamaan dengan 2 untuk menyederhanakan:

$3x - y = 5$

Jadi, persamaan garis singgung lingkaran di titik $Q(2, 1)$ adalah:

$3x - y = 5$

Apakah Anda ingin penjelasan lebih detail atau ada pertanyaan?
Berikut adalah beberapa pertanyaan terkait yang dapat membantu memperdalam pemahaman Anda:

1. Bagaimana cara menghitung jarak antara dua titik dalam koordinat kartesius?
2. Apa itu garis singgung lingkaran dan bagaimana sifat-sifatnya?
3. Bagaimana cara menyederhanakan persamaan linear?
4. Apa hubungan antara gradien garis dan persamaan garis singgung?
5. Bagaimana menentukan pusat dan jari-jari lingkaran dari persamaan lingkaran?

Tip: Saat bekerja dengan lingkaran, ingat bahwa jari-jari selalu tegak lurus dengan garis singgung pada titik singgung.