13. Lingkaran A berpusat di titik P(−4, 3) dan melalui titik Q(2, 1). Persamaan garis singgung
lingkaran A di titik Q adalah ... .

Untuk menentukan persamaan garis singgung lingkaran di titik \( Q \), kita harus terlebih dahulu menentukan persamaan lingkarannya. 

**Langkah 1: Menentukan Persamaan Lingkaran**

Persamaan umum lingkaran dengan pusat \( P(h, k) \) dan jari-jari \( r \) adalah:

\[
(x - h)^2 + (y - k)^2 = r^2
\]

Diketahui pusat lingkaran \( P(-4, 3) \) dan lingkaran melalui titik \( Q(2, 1) \). Maka, kita substitusikan \( h = -4 \) dan \( k = 3 \) ke dalam persamaan lingkaran:

\[
(x + 4)^2 + (y - 3)^2 = r^2
\]

Untuk menemukan \( r^2 \), kita gunakan jarak antara titik \( P(-4, 3) \) dan \( Q(2, 1) \), karena ini merupakan jari-jari lingkaran.

Jarak antara \( P \) dan \( Q \) adalah:

\[
r = \sqrt{(2 - (-4))^2 + (1 - 3)^2}
\]
\[
r = \sqrt{(2 + 4)^2 + (1 - 3)^2} = \sqrt{6^2 + (-2)^2} = \sqrt{36 + 4} = \sqrt{40} = 2\sqrt{10}
\]

Maka, \( r^2 = 40 \). Sehingga, persamaan lingkaran adalah:

\[
(x + 4)^2 + (y - 3)^2 = 40
\]

**Langkah 2: Menentukan Persamaan Garis Singgung**

Persamaan garis singgung lingkaran di titik \( Q(x_1, y_1) \) untuk lingkaran dengan pusat \( P(h, k) \) dan jari-jari \( r \) adalah:

\[
(x_1 - h)(x - h) + (y_1 - k)(y - k) = r^2
\]

Substitusi nilai \( h = -4 \), \( k = 3 \), \( x_1 = 2 \), dan \( y_1 = 1 \):

\[
(2 - (-4))(x + 4) + (1 - 3)(y - 3) = 40
\]

Sederhanakan:

\[
(2 + 4)(x + 4) + (-2)(y - 3) = 40
\]
\[
6(x + 4) - 2(y - 3) = 40
\]
\[
6x + 24 - 2y + 6 = 40
\]
\[
6x - 2y + 30 = 40
\]
\[
6x - 2y = 10
\]

Bagi semua persamaan dengan 2 untuk menyederhanakan:

\[
3x - y = 5
\]

Jadi, persamaan garis singgung lingkaran di titik \( Q(2, 1) \) adalah:

\[
3x - y = 5
\]

Apakah Anda ingin penjelasan lebih detail atau ada pertanyaan?  
Berikut adalah beberapa pertanyaan terkait yang dapat membantu memperdalam pemahaman Anda:

1. Bagaimana cara menghitung jarak antara dua titik dalam koordinat kartesius?
2. Apa itu garis singgung lingkaran dan bagaimana sifat-sifatnya?
3. Bagaimana cara menyederhanakan persamaan linear?
4. Apa hubungan antara gradien garis dan persamaan garis singgung?
5. Bagaimana menentukan pusat dan jari-jari lingkaran dari persamaan lingkaran?

**Tip:** Saat bekerja dengan lingkaran, ingat bahwa jari-jari selalu tegak lurus dengan garis singgung pada titik singgung.

Lingkaran A berpusat di titik P(−4, 3) dan melalui titik Q(2, 1). Persamaan garis singgung lingkaran A di titik Q adalah ...

Learn how to find the tangent line equation of a circle centered at P(-4, 3) that passes through point Q(2, 1). This problem explores key geometric concepts such as circle equations and the properties of tangents. Suitable for high school students in Grades 10-12.

Math Problem Statement

Solution

Ask a new question for Free

By Image

Math Problem Analysis

Mathematical Concepts

Formulas

Theorems

Suitable Grade Level

Related Recommendation