Để chứng minh rằng đồ thị của hai hàm số $y = a^x$ và $y = \log x$ đối xứng nhau qua đường thẳng $y = x^4$, ta cần thực hiện một số bước phân tích toán học.

Bước 1: Định lý đối xứng

Hai đồ thị của hàm số $y = f(x)$ và $y = g(x)$ đối xứng qua một đường thẳng $y = h(x)$ nếu với mọi điểm $(x, y_1)$ trên đồ thị của hàm $y = f(x)$, thì có một điểm $(y_1, x)$ trên đồ thị của hàm $y = g(x)$ và ngược lại. Điều này có nghĩa là, khi đổi hoán vị các giá trị $x$ và $y$, ta có được một điểm thuộc đồ thị của đối hàm.

Bước 2: Kiểm tra đối xứng qua đường $y = x^4$

Để chứng minh sự đối xứng qua đường thẳng $y = x^4$, ta cần kiểm tra xem có một phép biến đổi nào đó sao cho:

• Khi $y = a^x$, ta có thể chuyển đổi và đưa được thành $y = \log x$.
• Khi $y = \log x$, ta có thể chuyển đổi và đưa được thành $y = a^x$.

Bước 3: Sử dụng phép biến đổi đối xứng

Ta sẽ thử dùng phép biến đổi theo công thức sau:

• Phép biến đổi: Đổi hoán vị $x$ và $y$, nghĩa là, nếu $y = a^x$, ta sẽ tìm một hàm số $y'$ sao cho nó có dạng $y' = \log x$ và ngược lại.

Bước 4: Xác định sự đối xứng

Giải thích chi tiết về cách chuyển đổi, bước đầu tiên là nhận thấy rằng:

• Đồ thị của $y = a^x$ mô tả mối quan hệ giữa $x$ và $y$ là hàm số mũ.
• Đồ thị của $y = \log x$ mô tả mối quan hệ giữa $x$ và $y$ là hàm logarithm.

Ta sẽ áp dụng phép biến đổi và kiểm tra đồ thị qua sự đối xứng.