Math Problem Statement
デカルト座標系(x,y,z)においてベクトル場aが a=(x+yz)i+(x+x^2+y^2+zx)j+(z+xy)k と与えられている
i,j,kはそれぞれx,y,z方向の基本ベクトルである
領域Vが 0≦z≦1-x^2, 0≦y≦1 である
vの表面をsとしてsの外向き単位法線ベクトルnとベクトル場aの内積をsに沿って面積分した結果
Solution
与えられたベクトル場 は以下の通りです:
領域 が 、 で定義されています。ここで、領域 の表面を とし、 の外向き単位法線ベクトルを とします。
求めたいのは、表面積分:
これはガウスの定理(発散定理)を用いることで、体積積分に変換できます。
ガウスの定理(発散定理)
ガウスの定理によれば、任意のベクトル場 に対して次の関係が成り立ちます:
この式を使って表面積分を計算するためには、まずベクトル場 の発散 を求め、その後、体積積分を行います。
ベクトル場 の発散
前に計算したように、発散は次のようになります:
領域 での体積積分
次に、発散 の体積積分を領域 に対して行います。領域 は次の条件で定義されています:
体積積分は次のようになります:
まず に関して積分します。 は から の範囲ですので:
次に、これを に関して積分します:
計算を進めると:
最後に、これを に関して積分します:
したがって、表面積分の結果は
です。
まとめ
ガウスの定理を用いて、ベクトル場 と外向き単位法線ベクトル の内積の表面積分は となります。さらに質問や詳細な説明が必要な場合は教えてください。
関連質問
- ガウスの定理(発散定理)はどのような場面で使用されるのか?
- 表面積分と体積積分の違いは何か?
- この計算結果の物理的な意味は何か?
- 他の領域 で同様の計算を行う場合、結果はどのように変わるか?
- ベクトル場の発散がゼロでない場合の意味は?
Tip
ガウスの定理を使うと、複雑な表面積分を体積積分に変換して簡単に解くことができます。特に、領域やベクトル場がシンプルな形状の場合、計算が大幅に楽になります。
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