デカルト座標系(x,y,z)においてベクトル場aが
a=(x+yz)i+(x+x^2+y^2+zx)j+(z+xy)k
と与えられている

i,j,kはそれぞれx,y,z方向の基本ベクトルである

領域Vが　0≦z≦1-x^2, 0≦y≦1 である

vの表面をsとしてsの外向き単位法線ベクトルnとベクトル場aの内積をsに沿って面積分した結果

与えられたベクトル場 \(\mathbf{a}\) は以下の通りです：

\[
\mathbf{a} = (x + yz)\mathbf{i} + (x + x^2 + y^2 + zx)\mathbf{j} + (z + xy)\mathbf{k}
\]

領域 \(V\) が \(0 \leq z \leq 1 - x^2\)、\(0 \leq y \leq 1\) で定義されています。ここで、領域 \(V\) の表面を \(S\) とし、\(S\) の外向き単位法線ベクトルを \(\mathbf{n}\) とします。

求めたいのは、表面積分：

\[
\iint_S \mathbf{a} \cdot \mathbf{n} \, dS
\]

これはガウスの定理（発散定理）を用いることで、体積積分に変換できます。

### ガウスの定理（発散定理）

ガウスの定理によれば、任意のベクトル場 \(\mathbf{a}\) に対して次の関係が成り立ちます：

\[
\iint_S \mathbf{a} \cdot \mathbf{n} \, dS = \iiint_V (\nabla \cdot \mathbf{a}) \, dV
\]

この式を使って表面積分を計算するためには、まずベクトル場 \(\mathbf{a}\) の発散 \(\nabla \cdot \mathbf{a}\) を求め、その後、体積積分を行います。

### ベクトル場 \(\mathbf{a}\) の発散

前に計算したように、発散は次のようになります：

\[
\nabla \cdot \mathbf{a} = 2y + 2
\]

### 領域 \(V\) での体積積分

次に、発散 \(\nabla \cdot \mathbf{a}\) の体積積分を領域 \(V\) に対して行います。領域 \(V\) は次の条件で定義されています：

\[
0 \leq z \leq 1 - x^2, \quad 0 \leq y \leq 1, \quad 0 \leq x \leq 1
\]

体積積分は次のようになります：

\[
\iiint_V (2y + 2) \, dV = \int_{x=0}^{1} \int_{y=0}^{1} \int_{z=0}^{1-x^2} (2y + 2) \, dz \, dy \, dx
\]

まず \(z\) に関して積分します。\(z\) は \(0\) から \(1 - x^2\) の範囲ですので：

\[
\int_{z=0}^{1-x^2} (2y + 2) \, dz = (2y + 2)(1 - x^2)
\]

次に、これを \(y\) に関して積分します：

\[
\int_{y=0}^{1} (2y + 2)(1 - x^2) \, dy = \int_{y=0}^{1} (2y(1 - x^2) + 2(1 - x^2)) \, dy
\]

計算を進めると：

\[
\int_{y=0}^{1} (2y(1 - x^2) + 2(1 - x^2)) \, dy = \left[ (1 - x^2)y^2 + 2y(1 - x^2) \right]_{0}^{1}
\]
\[
= (1 - x^2)(1 + 2) = 3(1 - x^2)
\]

最後に、これを \(x\) に関して積分します：

\[
\int_{x=0}^{1} 3(1 - x^2) \, dx = 3 \int_{x=0}^{1} (1 - x^2) \, dx
\]
\[
= 3 \left[ x - \frac{x^3}{3} \right]_{0}^{1} = 3 \left( 1 - \frac{1}{3} \right) = 3 \times \frac{2}{3} = 2
\]

したがって、表面積分の結果は

\[
\boxed{2}
\]

です。

### まとめ

ガウスの定理を用いて、ベクトル場 \(\mathbf{a}\) と外向き単位法線ベクトル \(\mathbf{n}\) の内積の表面積分は \(2\) となります。さらに質問や詳細な説明が必要な場合は教えてください。

---

### 関連質問
1. ガウスの定理（発散定理）はどのような場面で使用されるのか？
2. 表面積分と体積積分の違いは何か？
3. この計算結果の物理的な意味は何か？
4. 他の領域 \(V\) で同様の計算を行う場合、結果はどのように変わるか？
5. ベクトル場の発散がゼロでない場合の意味は？

### Tip
ガウスの定理を使うと、複雑な表面積分を体積積分に変換して簡単に解くことができます。特に、領域やベクトル場がシンプルな形状の場合、計算が大幅に楽になります。

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