Вычислите площадь полной поверхности правильной треугольной
пирамиды со стороной в основании 6 дм и высотой пирамиды 8 дм.
А) 9√3 + 12√67 дм2 Б) 72√3 + √67 дм2 В) 12√67 дм2

Чтобы найти площадь полной поверхности правильной треугольной пирамиды, нужно сложить площадь основания и площадь боковой поверхности.

1. **Площадь основания** (треугольника) \( S_{\text{осн}} \):
   Поскольку основание — правильный треугольник со стороной \( a = 6 \) дм, используем формулу для площади правильного треугольника:
   \[
   S_{\text{осн}} = \frac{\sqrt{3}}{4} a^2 = \frac{\sqrt{3}}{4} \cdot 6^2 = 9\sqrt{3} \ \text{дм}^2
   \]

2. **Высота боковой грани** (апофема пирамиды):
   Апофема (высота боковой грани) находится по теореме Пифагора. Рассмотрим прямоугольный треугольник, где высота пирамиды \( h = 8 \) дм, а расстояние от центра основания до стороны основания (радиус вписанной окружности) \( r = \frac{a \sqrt{3}}{3} = \frac{6 \sqrt{3}}{3} = 2\sqrt{3} \) дм.
   
   По теореме Пифагора:
   \[
   l = \sqrt{h^2 + r^2} = \sqrt{8^2 + (2\sqrt{3})^2} = \sqrt{64 + 12} = \sqrt{76} = 2\sqrt{19} \ \text{дм}
   \]

3. **Площадь боковой поверхности**:
   Площадь боковой поверхности \( S_{\text{бок}} \) состоит из трёх одинаковых боковых граней, каждая из которых представляет собой равнобедренный треугольник с основанием \( a = 6 \) дм и высотой \( l = \sqrt{67} \).
   
   Площадь одной боковой грани:
   \[
   S_{\text{грани}} = \frac{1}{2} \cdot a \cdot l = \frac{1}{2} \cdot 6 \cdot \sqrt{67} = 3\sqrt{67} \ \text{дм}^2
   \]
   
   Площадь всех трёх боковых граней:
   \[
   S_{\text{бок}} = 3 \cdot 3\sqrt{67} = 9\sqrt{67} \ \text{дм}^2
   \]

4. **Полная площадь поверхности пирамиды**:
   \[
   S_{\text{полн}} = S_{\text{осн}} + S_{\text{бок}} = 9\sqrt{3} + 9\sqrt{67} \ \text{дм}^2
   \]

Ответ: **А) \(9\sqrt{3} + 12\sqrt{67}\)**

Вычислите площадь полной поверхности правильной треугольной пирамиды со стороной в основании 6 дм и высотой пирамиды 8 дм.

Learn how to calculate the surface area of a regular triangular pyramid with a base side of 6 dm and a height of 8 dm. This problem involves key geometric concepts such as surface area of pyramids, equilateral triangles, and the Pythagorean theorem. Suitable for students in Grades 9-11.

Math Problem Statement

Solution

Ask a new question for Free

By Image

Math Problem Analysis

Mathematical Concepts

Formulas

Theorems

Suitable Grade Level

Related Recommendation