Certamente! Lo studio della funzione richiede diversi passaggi. Consideriamo la funzione che hai fornito:

$f(x) = \frac{x}{1 - x}$

1. Dominio

Il dominio della funzione è l'insieme dei valori di $x$ per cui la funzione è definita. In questo caso, dobbiamo evitare che il denominatore sia uguale a zero:

$1 - x \neq 0 \implies x \neq 1$

Quindi, il dominio è $\mathbb{R} \setminus \{1\}$.

2. Intersezioni con gli assi

• Intersezione con l'asse $y$ (quando $x = 0$): $f(0) = \frac{0}{1 - 0} = 0$ Quindi, l'intersezione con l'asse $y$ è nel punto $(0, 0)$.

• Intersezione con l'asse $x$ (quando $f(x) = 0$): $\frac{x}{1 - x} = 0 \implies x = 0$ Quindi, anche l'intersezione con l'asse $x$ è nel punto $(0, 0)$.

3. Comportamento asintotico

• Asintoto verticale: L'asintoto verticale si trova quando il denominatore si annulla, cioè quando $x = 1$. Quindi, la funzione ha un asintoto verticale in $x = 1$.

• Asintoto orizzontale: Per trovare l'asintoto orizzontale, calcoliamo il limite per $x \to \infty$ e $x \to -\infty$:

$\lim_{x \to \infty} \frac{x}{1 - x} = -1$ $\lim_{x \to -\infty} \frac{x}{1 - x} = 1$

Quindi, la funzione ha un asintoto orizzontale di equazione $y = -1$ quando $x \to \infty$, e $y = 1$ quando $x \to -\infty$.

4. Derivata prima e monotonia

Calcoliamo la derivata prima di $f(x)$ per studiare la monotonia della funzione:

$f'(x) = \frac{(1 - x)(1) - (x)(-1)}{(1 - x)^2} = \frac{1 + x}{(1 - x)^2}$

La derivata prima è sempre positiva per $x \neq 1$, quindi la funzione è crescente per ogni $x \in \mathbb{R} \setminus \{1\}$.

5. Concavità e derivata seconda

Calcoliamo ora la derivata seconda per analizzare la concavità:

$f''(x) = \frac{2}{(1 - x)^3}$

La derivata seconda è positiva per $x < 1$ e negativa per $x > 1$. Quindi:

• La funzione è convessa per $x < 1$,
• La funzione è concava per $x > 1$.

Riassunto:

• Dominio: $\mathbb{R} \setminus \{1\}$
• Intersezione con gli assi: $(0, 0)$
• Asintoti: asintoto verticale $x = 1$, asintoto orizzontale $y = -1$ per $x \to \infty$, e $y = 1$ per $x \to -\infty$
• Monotonia: crescente ovunque
• Concavità: convessa per $x < 1$, concava per $x > 1$

Se desideri ulteriori dettagli su un passaggio specifico, chiedi pure!

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Tip: Quando studi una funzione razionale, cerca sempre prima gli asintoti e il dominio, poiché influenzano il comportamento della funzione.