mi faresti lo studio della funzione di questa equazione?

x/1-x

Certamente! Lo studio della funzione richiede diversi passaggi. Consideriamo la funzione che hai fornito:

\[ f(x) = \frac{x}{1 - x} \]

### 1. Dominio
Il dominio della funzione è l'insieme dei valori di \( x \) per cui la funzione è definita. In questo caso, dobbiamo evitare che il denominatore sia uguale a zero:

\[
1 - x \neq 0 \implies x \neq 1
\]

Quindi, il dominio è \( \mathbb{R} \setminus \{1\} \).

### 2. Intersezioni con gli assi
- **Intersezione con l'asse \( y \) (quando \( x = 0 \)):**
\[
f(0) = \frac{0}{1 - 0} = 0
\]
Quindi, l'intersezione con l'asse \( y \) è nel punto \( (0, 0) \).

- **Intersezione con l'asse \( x \) (quando \( f(x) = 0 \)):**
\[
\frac{x}{1 - x} = 0 \implies x = 0
\]
Quindi, anche l'intersezione con l'asse \( x \) è nel punto \( (0, 0) \).

### 3. Comportamento asintotico
- **Asintoto verticale:** L'asintoto verticale si trova quando il denominatore si annulla, cioè quando \( x = 1 \). Quindi, la funzione ha un asintoto verticale in \( x = 1 \).

- **Asintoto orizzontale:** Per trovare l'asintoto orizzontale, calcoliamo il limite per \( x \to \infty \) e \( x \to -\infty \):

\[
\lim_{x \to \infty} \frac{x}{1 - x} = -1
\]
\[
\lim_{x \to -\infty} \frac{x}{1 - x} = 1
\]

Quindi, la funzione ha un asintoto orizzontale di equazione \( y = -1 \) quando \( x \to \infty \), e \( y = 1 \) quando \( x \to -\infty \).

### 4. Derivata prima e monotonia
Calcoliamo la derivata prima di \( f(x) \) per studiare la monotonia della funzione:

\[
f'(x) = \frac{(1 - x)(1) - (x)(-1)}{(1 - x)^2} = \frac{1 + x}{(1 - x)^2}
\]

La derivata prima è sempre positiva per \( x \neq 1 \), quindi la funzione è **crescente** per ogni \( x \in \mathbb{R} \setminus \{1\} \).

### 5. Concavità e derivata seconda
Calcoliamo ora la derivata seconda per analizzare la concavità:

\[
f''(x) = \frac{2}{(1 - x)^3}
\]

La derivata seconda è positiva per \( x < 1 \) e negativa per \( x > 1 \). Quindi:
- La funzione è **convessa** per \( x < 1 \),
- La funzione è **concava** per \( x > 1 \).

### Riassunto:
- **Dominio:** \( \mathbb{R} \setminus \{1\} \)
- **Intersezione con gli assi:** \( (0, 0) \)
- **Asintoti:** asintoto verticale \( x = 1 \), asintoto orizzontale \( y = -1 \) per \( x \to \infty \), e \( y = 1 \) per \( x \to -\infty \)
- **Monotonia:** crescente ovunque
- **Concavità:** convessa per \( x < 1 \), concava per \( x > 1 \)

Se desideri ulteriori dettagli su un passaggio specifico, chiedi pure!

### Domande correlate:
1. Come si calcolano i limiti asintotici in una funzione razionale?
2. Quali sono le condizioni per avere un punto di flesso in una funzione?
3. Cosa significa una funzione crescente e come viene determinata?
4. Come interpretare i risultati della derivata seconda per concavità e convessità?
5. Qual è il metodo generale per studiare il dominio di una funzione razionale?

### Tip: Quando studi una funzione razionale, cerca sempre prima gli asintoti e il dominio, poiché influenzano il comportamento della funzione.

mi faresti lo studio della funzione di questa equazione? x/1-x

Explore the detailed study of the rational function f(x) = x / (1 - x). This includes finding its domain, analyzing asymptotes, calculating derivatives for monotonicity and concavity, and interpreting limits. Suitable for students in advanced high school calculus.

Math Problem Statement

Solution

Ask a new question for Free

By Image

Math Problem Analysis

Mathematical Concepts

Formulas

Theorems

Suitable Grade Level

Related Recommendation