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Halla la respuesta de cada punto y has el debido procedimiento para llegar a la respuesta 

Voy a resolver los ejercicios uno a uno, mostrando el procedimiento para cada uno.

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### Ejercicio 7

La función dada es:
\[
f(x) = 3x^4 - 6x^2 + 3
\]

Para encontrar la derivada \( f'(x) \), aplicamos la regla de la potencia a cada término:

1. Derivada de \( 3x^4 \):
   \[
   \frac{d}{dx}(3x^4) = 3 \cdot 4x^{4-1} = 12x^3
   \]

2. Derivada de \( -6x^2 \):
   \[
   \frac{d}{dx}(-6x^2) = -6 \cdot 2x^{2-1} = -12x
   \]

3. Derivada de la constante \( 3 \):
   \[
   \frac{d}{dx}(3) = 0
   \]

Entonces, la derivada de \( f(x) \) es:
\[
f'(x) = 12x^3 - 12x
\]

La respuesta correcta es la opción **c. \( 12x^3 - 12x \)**.

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### Ejercicio 8

La función dada es:
\[
g(x) = (5x^3 + 8)(5x^4)
\]

Para derivar esta función, utilizaremos la regla del producto, que dice que si \( h(x) = u(x) \cdot v(x) \), entonces \( h'(x) = u'(x)v(x) + u(x)v'(x) \).

Definimos:
- \( u(x) = 5x^3 + 8 \)
- \( v(x) = 5x^4 \)

1. Derivamos \( u(x) \):
   \[
   u'(x) = \frac{d}{dx}(5x^3 + 8) = 15x^2
   \]

2. Derivamos \( v(x) \):
   \[
   v'(x) = \frac{d}{dx}(5x^4) = 20x^3
   \]

3. Aplicamos la regla del producto:
   \[
   g'(x) = u'(x)v(x) + u(x)v'(x)
   \]
   Sustituyendo:
   \[
   g'(x) = (15x^2)(5x^4) + (5x^3 + 8)(20x^3)
   \]

4. Calculamos cada término por separado:
   - Primer término: \( (15x^2)(5x^4) = 75x^6 \)
   - Segundo término: \( (5x^3 + 8)(20x^3) = 100x^6 + 160x^3 \)

   Sumando ambos términos:
   \[
   g'(x) = 75x^6 + 100x^6 + 160x^3 = 175x^6 + 160x^3
   \]

La respuesta correcta es la opción **d. \( 175x^6 + 160x^3 \)**.

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¿Te gustaría que explique algún paso con más detalle o tienes alguna pregunta?

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### Preguntas Relacionadas

1. ¿Cómo se aplica la regla de la cadena en derivadas compuestas?
2. ¿Qué ocurre si la función incluye términos como \( x^{-n} \)?
3. ¿Cuál es la diferencia entre la regla del producto y la regla del cociente?
4. ¿Cómo se deriva una función trigonométrica como \( \sin(x) \) o \( \cos(x) \)?
5. ¿Cómo se aplica la derivada en funciones exponenciales como \( e^x \)?

### Tip

Al derivar polinomios, recuerda que el exponente del término disminuye en uno y el coeficiente se multiplica por el exponente inicial del término.

Halla la respuesta de cada punto y has el debido procedimiento para llegar a la respuesta.

This page provides detailed solutions to derivative problems involving polynomial functions and the product rule. It includes step-by-step procedures for calculating the derivative of functions like f(x) = 3x^4 - 6x^2 + 3 and g(x) = (5x^3 + 8)(5x^4). Suitable for high school students in calculus courses.

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