Voy a resolver los ejercicios uno a uno, mostrando el procedimiento para cada uno.

Ejercicio 7

La función dada es: $f(x) = 3x^4 - 6x^2 + 3$

Para encontrar la derivada $f'(x)$, aplicamos la regla de la potencia a cada término:

1. Derivada de $3x^4$: $\frac{d}{dx}(3x^4) = 3 \cdot 4x^{4-1} = 12x^3$

2. Derivada de $-6x^2$: $\frac{d}{dx}(-6x^2) = -6 \cdot 2x^{2-1} = -12x$

3. Derivada de la constante $3$: $\frac{d}{dx}(3) = 0$

Entonces, la derivada de $f(x)$ es: $f'(x) = 12x^3 - 12x$

La respuesta correcta es la opción c. $12x^3 - 12x$.

Ejercicio 8

La función dada es: $g(x) = (5x^3 + 8)(5x^4)$

Para derivar esta función, utilizaremos la regla del producto, que dice que si $h(x) = u(x) \cdot v(x)$, entonces $h'(x) = u'(x)v(x) + u(x)v'(x)$.

Definimos:

• $u(x) = 5x^3 + 8$
• $v(x) = 5x^4$

1. Derivamos $u(x)$: $u'(x) = \frac{d}{dx}(5x^3 + 8) = 15x^2$

2. Derivamos $v(x)$: $v'(x) = \frac{d}{dx}(5x^4) = 20x^3$

3. Aplicamos la regla del producto: $g'(x) = u'(x)v(x) + u(x)v'(x)$ Sustituyendo: $g'(x) = (15x^2)(5x^4) + (5x^3 + 8)(20x^3)$

4. Calculamos cada término por separado:

   • Primer término: $(15x^2)(5x^4) = 75x^6$
   • Segundo término: $(5x^3 + 8)(20x^3) = 100x^6 + 160x^3$

   Sumando ambos términos: $g'(x) = 75x^6 + 100x^6 + 160x^3 = 175x^6 + 160x^3$

La respuesta correcta es la opción d. $175x^6 + 160x^3$.

¿Te gustaría que explique algún paso con más detalle o tienes alguna pregunta?

Preguntas Relacionadas

1. ¿Cómo se aplica la regla de la cadena en derivadas compuestas?
2. ¿Qué ocurre si la función incluye términos como $x^{-n}$?
3. ¿Cuál es la diferencia entre la regla del producto y la regla del cociente?
4. ¿Cómo se deriva una función trigonométrica como $\sin(x)$ o $\cos(x)$?
5. ¿Cómo se aplica la derivada en funciones exponenciales como $e^x$?

Tip

Al derivar polinomios, recuerda que el exponente del término disminuye en uno y el coeficiente se multiplica por el exponente inicial del término.