Math Problem Statement

Halla la respuesta de cada punto y has el debido procedimiento para llegar a la respuesta

Halla la respuesta de cada punto y has el debido procedimiento para llegar a la respuesta.

Solution

Voy a resolver los ejercicios uno a uno, mostrando el procedimiento para cada uno.


Ejercicio 7

La función dada es: f(x)=3x46x2+3f(x) = 3x^4 - 6x^2 + 3

Para encontrar la derivada f(x)f'(x), aplicamos la regla de la potencia a cada término:

  1. Derivada de 3x43x^4: ddx(3x4)=34x41=12x3\frac{d}{dx}(3x^4) = 3 \cdot 4x^{4-1} = 12x^3

  2. Derivada de 6x2-6x^2: ddx(6x2)=62x21=12x\frac{d}{dx}(-6x^2) = -6 \cdot 2x^{2-1} = -12x

  3. Derivada de la constante 33: ddx(3)=0\frac{d}{dx}(3) = 0

Entonces, la derivada de f(x)f(x) es: f(x)=12x312xf'(x) = 12x^3 - 12x

La respuesta correcta es la opción c. 12x312x12x^3 - 12x.


Ejercicio 8

La función dada es: g(x)=(5x3+8)(5x4)g(x) = (5x^3 + 8)(5x^4)

Para derivar esta función, utilizaremos la regla del producto, que dice que si h(x)=u(x)v(x)h(x) = u(x) \cdot v(x), entonces h(x)=u(x)v(x)+u(x)v(x)h'(x) = u'(x)v(x) + u(x)v'(x).

Definimos:

  • u(x)=5x3+8u(x) = 5x^3 + 8
  • v(x)=5x4v(x) = 5x^4
  1. Derivamos u(x)u(x): u(x)=ddx(5x3+8)=15x2u'(x) = \frac{d}{dx}(5x^3 + 8) = 15x^2

  2. Derivamos v(x)v(x): v(x)=ddx(5x4)=20x3v'(x) = \frac{d}{dx}(5x^4) = 20x^3

  3. Aplicamos la regla del producto: g(x)=u(x)v(x)+u(x)v(x)g'(x) = u'(x)v(x) + u(x)v'(x) Sustituyendo: g(x)=(15x2)(5x4)+(5x3+8)(20x3)g'(x) = (15x^2)(5x^4) + (5x^3 + 8)(20x^3)

  4. Calculamos cada término por separado:

    • Primer término: (15x2)(5x4)=75x6(15x^2)(5x^4) = 75x^6
    • Segundo término: (5x3+8)(20x3)=100x6+160x3(5x^3 + 8)(20x^3) = 100x^6 + 160x^3

    Sumando ambos términos: g(x)=75x6+100x6+160x3=175x6+160x3g'(x) = 75x^6 + 100x^6 + 160x^3 = 175x^6 + 160x^3

La respuesta correcta es la opción d. 175x6+160x3175x^6 + 160x^3.


¿Te gustaría que explique algún paso con más detalle o tienes alguna pregunta?


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Tip

Al derivar polinomios, recuerda que el exponente del término disminuye en uno y el coeficiente se multiplica por el exponente inicial del término.

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Math Problem Analysis

Mathematical Concepts

Calculus
Derivatives
Polynomial Functions
Product Rule

Formulas

Power rule: \( \frac{d}{dx}(x^n) = nx^{n-1} \)
Product rule: \( (uv)' = u'v + uv' \)

Theorems

Power rule for derivatives
Product rule for derivatives

Suitable Grade Level

Grade 11-12 or Calculus I