Квадрат, длина диагонали которого равна 8, лежит в плоскости а.
Сфера касается плоскости а в точке пересечения диагоналей квадрата.
Найдите площадь сферы, если расстояние от центра сферы до вершины квадрата равно 4sqrt(2). Ответ 64п

Давайте разберемся с задачей. 

1. Квадрат лежит в плоскости \( \alpha \), и его диагонали пересекаются в центре квадрата. 
2. Сфера касается этой плоскости в точке пересечения диагоналей квадрата. Это значит, что точка касания является одновременно центром квадрата и проекцией центра сферы на плоскость квадрата.
3. Длина диагонали квадрата равна 8, следовательно, можем найти длину стороны квадрата. Вспомним, что диагональ квадрата \( d \) и его сторона \( a \) связаны формулой:
   \[
   d = a\sqrt{2}
   \]
   Подставляем \( d = 8 \):
   \[
   8 = a\sqrt{2}
   \]
   Следовательно, длина стороны квадрата:
   \[
   a = \frac{8}{\sqrt{2}} = 4\sqrt{2}
   \]

4. Теперь нам известно, что расстояние от центра сферы до вершины квадрата равно \( 4\sqrt{2} \). Поскольку центр сферы лежит на перпендикуляре, проходящем через центр квадрата, и это расстояние — гипотенуза прямоугольного треугольника, в котором катетами будут радиус сферы \( R \) и расстояние от центра квадрата до его вершины (это половина диагонали квадрата). Половина диагонали квадрата равна:
   \[
   \frac{d}{2} = \frac{8}{2} = 4
   \]

5. Используем теорему Пифагора для нахождения радиуса сферы \( R \):
   \[
   R^2 + 4^2 = (4\sqrt{2})^2
   \]
   \[
   R^2 + 16 = 32
   \]
   \[
   R^2 = 16
   \]
   \[
   R = 4
   \]

6. Площадь поверхности сферы вычисляется по формуле:
   \[
   S = 4\pi R^2
   \]
   Подставляем \( R = 4 \):
   \[
   S = 4\pi \times 4^2 = 4\pi \times 16 = 64\pi
   \]

Ответ: площадь поверхности сферы равна \( 64\pi \).

Есть ли у вас вопросы или требуется пояснение какого-то шага? 

Вот 5 вопросов для закрепления материала:
1. Как связаны диагональ и сторона квадрата?
2. Как вычисляется радиус сферы в задаче?
3. Как определить площадь поверхности сферы?
4. Какое значение имеет расстояние от центра квадрата до его вершины?
5. Почему важно учитывать касание сферы с плоскостью квадрата?

**Совет:** При решении задач с телами, касающимися плоскостей, всегда полезно визуализировать их взаимное расположение и использовать теорему Пифагора.

Квадрат, длина диагонали которого равна 8, лежит в плоскости а. Сфера касается плоскости а в точке пересечения диагоналей квадрата. Найдите площадь сферы, если расстояние от центра сферы до вершины квадрата равно 4√2. Ответ 64π.

Solve a geometric problem involving a square with diagonal length 8 and a sphere touching the square's plane at the diagonal intersection. Using the Pythagorean theorem and surface area formulas, calculate the sphere's area as 64π. Suitable for students in Grades 10-12.

Math Problem Statement

Solution

Ask a new question for Free

By Image

Math Problem Analysis

Mathematical Concepts

Formulas

Theorems

Suitable Grade Level

Related Recommendation