Math Problem Statement

Determina si el enunciado es verdadero (V) o falso (F), justificando cada respuesta.

La ecuación 1 + cos^2 (3x - 2) = 0 no tiene soluciones reales.

La ecuación 2sin(x) - 1 = 0 tiene dos soluciones en el intervalo [0, 2pi] .

Una solución de la ecuación cos( 3x + t 2)-1 = 0 es x = 2 * (pi - 1)/3 .

La ecuación sen² (x) - 9 = 0 tiene infi- nitas soluciones reales.

La ecuación sen² (x) + 4 = 3 no tiene soluciones reales.

La ecuación sen(0) - 2 = 0 tiene una solución 0, siendo el lado terminal de O en el tercer cuadrante.

Resuelve las siguientes ecuaciones.

Solution

Vamos a analizar cada enunciado y determinar si es verdadero (V) o falso (F), justificando cada respuesta:


1. La ecuación 1+cos2(3x2)=01 + \cos^2 (3x - 2) = 0 no tiene soluciones reales.

  • 1+cos2(3x2)11 + \cos^2(3x - 2) \geq 1, ya que cos2(3x2)\cos^2(3x - 2) siempre es 0\geq 0.
  • Es imposible que 1+cos2(3x2)=01 + \cos^2(3x - 2) = 0, ya que 1+un nuˊmero positivo01 + \text{un número positivo} \neq 0.

Respuesta: Verdadero (V). No tiene soluciones reales.


2. La ecuación 2sin(x)1=02\sin(x) - 1 = 0 tiene dos soluciones en el intervalo [0,2π][0, 2\pi].

  • Resolviendo 2sin(x)1=02\sin(x) - 1 = 0: sin(x)=12.\sin(x) = \frac{1}{2}.
  • En el intervalo [0,2π][0, 2\pi], el seno vale 12\frac{1}{2} en dos ángulos: x=π6,x=5π6.x = \frac{\pi}{6}, \quad x = \frac{5\pi}{6}.

Respuesta: Verdadero (V). Tiene exactamente dos soluciones en el intervalo dado.


3. Una solución de la ecuación cos(3x+π2)1=0\cos(3x + \frac{\pi}{2}) - 1 = 0 es x=2(π1)3x = \frac{2(\pi - 1)}{3}.

  • Resolviendo cos(3x+π2)1=0\cos(3x + \frac{\pi}{2}) - 1 = 0: cos(3x+π2)=1.\cos(3x + \frac{\pi}{2}) = 1. El coseno es 11 cuando el argumento es múltiplo de 2π2\pi, es decir: 3x+π2=2nπ,nZ.3x + \frac{\pi}{2} = 2n\pi, \quad n \in \mathbb{Z}. Resolviendo para xx: 3x=2nππ2,x=2nππ23.3x = 2n\pi - \frac{\pi}{2}, \quad x = \frac{2n\pi - \frac{\pi}{2}}{3}. Para n=1n = 1: x=2ππ23=4π2π23=3π23=π2.x = \frac{2\pi - \frac{\pi}{2}}{3} = \frac{\frac{4\pi}{2} - \frac{\pi}{2}}{3} = \frac{\frac{3\pi}{2}}{3} = \frac{\pi}{2}. El valor propuesto, x=2(π1)3x = \frac{2(\pi - 1)}{3}, no satisface la ecuación.

Respuesta: Falso (F).


4. La ecuación sin2(x)9=0\sin^2(x) - 9 = 0 tiene infinitas soluciones reales.

  • Resolviendo sin2(x)9=0\sin^2(x) - 9 = 0: sin2(x)=9.\sin^2(x) = 9. Esto implica que sin(x)=±3\sin(x) = \pm 3, pero sin(x)\sin(x) está limitado entre [1,1][-1, 1]. Por lo tanto, no hay soluciones.

Respuesta: Falso (F). No tiene soluciones reales.


5. La ecuación sin2(x)+4=3\sin^2(x) + 4 = 3 no tiene soluciones reales.

  • Resolviendo sin2(x)+4=3\sin^2(x) + 4 = 3: sin2(x)=1.\sin^2(x) = -1. El seno elevado al cuadrado nunca puede ser negativo.

Respuesta: Verdadero (V). No tiene soluciones reales.


6. La ecuación sin(0)2=0\sin(0) - 2 = 0 tiene una solución 00, siendo el lado terminal de 00 en el tercer cuadrante.

  • Resolviendo sin(0)2=0\sin(0) - 2 = 0: sin(0)=2.\sin(0) = 2. Esto es imposible, ya que el seno está limitado entre [1,1][-1, 1].

Respuesta: Falso (F). No tiene soluciones reales.


Si necesitas que resolvamos más ecuaciones o profundicemos en algún aspecto, indícalo.


5 Preguntas Relacionadas:

  1. ¿Cómo se determinan las soluciones de una ecuación trigonométrica en intervalos específicos?
  2. ¿Qué restricciones tienen las funciones trigonométricas para sus valores posibles?
  3. ¿Por qué el seno y el coseno están limitados entre [1,1][-1, 1]?
  4. ¿Cuáles son los pasos para encontrar todas las soluciones de una ecuación trigonométrica?
  5. ¿Cómo afectan los cuadrantes a las soluciones de las ecuaciones trigonométricas?

Tip:

Recuerda que las funciones trigonométricas tienen un rango limitado. Esto es clave para determinar si una ecuación tiene soluciones reales.

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Math Problem Analysis

Mathematical Concepts

Trigonometry
Solving trigonometric equations
Domain and range of trigonometric functions
Interval analysis

Formulas

cos^2(x) + sin^2(x) = 1
General solutions for sin(x) = k and cos(x) = k

Theorems

Pythagorean identity
Periodicity of trigonometric functions
Restrictions on trigonometric values (e.g., sin(x), cos(x) in [-1, 1])

Suitable Grade Level

Grades 10-12