Math Problem Statement

Tentukan himpunan penyelesaian dari sistem persamaan linear berikut! x+2y+z=8 2x+3y+5z=23 4x+y-z=3

Solution

Mari kita tentukan himpunan penyelesaian sistem persamaan linear berikut menggunakan metode eliminasi atau substitusi. Sistem persamaannya adalah:

  1. x+2y+z=8x + 2y + z = 8 \quad (Persamaan 1)
  2. 2x+3y+5z=232x + 3y + 5z = 23 \quad (Persamaan 2)
  3. 4x+yz=34x + y - z = 3 \quad (Persamaan 3)

Langkah-langkah Penyelesaian:

  1. Eliminasi salah satu variabel (misalnya zz):
    Dari Persamaan 1, kita dapat menyatakan z=8x2yz = 8 - x - 2y.

    Substitusi zz ke dalam Persamaan 2 dan Persamaan 3:

    • Substitusi ke Persamaan 2:
      2x+3y+5(8x2y)=232x + 3y + 5(8 - x - 2y) = 23
      Menyederhanakan:
      2x+3y+405x10y=232x + 3y + 40 - 5x - 10y = 23
      3x7y+40=23    3x7y=17    3x+7y=17-3x - 7y + 40 = 23 \implies -3x - 7y = -17 \implies 3x + 7y = 17
      (Persamaan 4)

    • Substitusi ke Persamaan 3:
      4x+y(8x2y)=34x + y - (8 - x - 2y) = 3
      Menyederhanakan:
      4x+y8+x+2y=34x + y - 8 + x + 2y = 3
      5x+3y8=3    5x+3y=115x + 3y - 8 = 3 \implies 5x + 3y = 11
      (Persamaan 5)

  2. Menyelesaikan sistem dua variabel (3x+7y=173x + 7y = 17 dan 5x+3y=115x + 3y = 11):
    Kita eliminasi yy:

    • Kalikan Persamaan 4 dengan 3:
      9x+21y=519x + 21y = 51
    • Kalikan Persamaan 5 dengan 7:
      35x+21y=7735x + 21y = 77
    • Kurangkan kedua persamaan:
      (35x+21y)(9x+21y)=7751(35x + 21y) - (9x + 21y) = 77 - 51
      26x=26    x=126x = 26 \implies x = 1

    Substitusi x=1x = 1 ke Persamaan 4:
    3(1)+7y=17    3+7y=17    7y=14    y=23(1) + 7y = 17 \implies 3 + 7y = 17 \implies 7y = 14 \implies y = 2

  3. Menentukan zz:
    Substitusi x=1x = 1 dan y=2y = 2 ke Persamaan 1:
    1+2(2)+z=8    1+4+z=8    z=31 + 2(2) + z = 8 \implies 1 + 4 + z = 8 \implies z = 3

Himpunan Penyelesaian:

(x,y,z)=(1,2,3)(x, y, z) = (1, 2, 3)

Apakah Anda ingin penjelasan lebih rinci atau memiliki pertanyaan lain? 😊


5 Pertanyaan Relatif:

  1. Bagaimana cara menyelesaikan sistem persamaan linear dengan metode matriks?
  2. Apa perbedaan metode eliminasi, substitusi, dan matriks dalam menyelesaikan SPL?
  3. Bagaimana menyelesaikan SPL jika tidak memiliki solusi atau memiliki solusi tak hingga?
  4. Apakah sistem persamaan linear dengan lebih dari 3 variabel bisa diselesaikan dengan metode yang sama?
  5. Bagaimana cara memverifikasi solusi SPL secara manual?

Tip: Saat memecahkan SPL, selalu periksa solusi Anda dengan substitusi kembali ke persamaan awal untuk memastikan kebenarannya.

Ask a new question for Free

By Image

Drop file here or Click Here to upload

Math Problem Analysis

Mathematical Concepts

Algebra
System of Linear Equations
Substitution Method
Elimination Method

Formulas

Substitution
Elimination

Theorems

System of Linear Equations Solution Theorem

Suitable Grade Level

Grades 9-12