För att lösa ekvationen

$\sqrt{x + 3} = x - 1$

följer vi dessa steg:

1. Kvadrera båda sidorna

Genom att kvadrera båda sidorna av ekvationen eliminerar vi rottecknet:

$(\sqrt{x + 3})^2 = (x - 1)^2$

vilket ger:

$x + 3 = x^2 - 2x + 1$

2. Flytta alla termer till en sida

För att sätta upp en nollställd kvadratisk ekvation, subtraherar vi $x + 3$ från båda sidor:

$0 = x^2 - 3x - 2$

3. Faktorisera den kvadratiska ekvationen

Vi faktoriserar vänsterledet:

$0 = (x - 2)(x - 1)$

4. Lös ekvationen

Nu får vi två lösningar genom att sätta varje faktor till noll:

$x - 2 = 0 \Rightarrow x = 2$ $x - 1 = 0 \Rightarrow x = 1$

5. Kontrollera lösningarna

Eftersom vi kvadrerade båda sidor, måste vi kontrollera att båda lösningarna stämmer med ursprungsekvationen.

1. För $x = 2$: $\sqrt{2 + 3} = 2 - 1 \Rightarrow \sqrt{5} = 1 \quad \text{(stämmer ej)}$

2. För $x = 1$: $\sqrt{1 + 3} = 1 - 1 \Rightarrow \sqrt{4} = 0 \quad \text{(stämmer ej)}$

Slutsats

Ingen av lösningarna uppfyller ursprungsekvationen. Därför har ekvationen ingen lösning.

Vill du ha en detaljerad genomgång av något steg, eller har du fler frågor?

---

Relaterade frågor för vidare förståelse:

1. Hur kan man identifiera om en kvadratisk ekvation kommer att ha lösningar?
2. Vilka andra metoder finns för att lösa ekvationer med rotuttryck?
3. Vad innebär det om en ekvation inte har några reella lösningar?
4. När är det nödvändigt att kontrollera lösningar när vi kvadrerar båda sidor?
5. Hur kan vi använda grafer för att se om en ekvation har lösningar?

Tips: När du löser ekvationer som innehåller kvadratrötter, tänk på att lösningar kan förkastas efter kvadrering.