Mari kita selesaikan persamaan diferensial $(D^2 + 2D - 3) y = f(x)$, dengan:

$f(x) = (x^2 + x - 3) + e^x + xe^x + (2x\sin(3x) + \cos(3x)) - xe^{-2x} \sin(x)$

Langkah 1: Persamaan Karakteristik
Persamaan diferensial homogen terkait adalah: $(D^2 + 2D - 3)y = 0$ Kita tuliskan dalam bentuk karakteristik: $r^2 + 2r - 3 = 0$ Faktorkan: $(r + 3)(r - 1) = 0$ Jadi, akar-akar persamaan karakteristik adalah $r = -3$ dan $r = 1$.

Maka solusi umum dari persamaan homogen adalah: $y_h = C_1 e^{-3x} + C_2 e^x$

Langkah 2: Solusi Partikular
Sekarang, kita cari solusi partikular $y_p$ untuk fungsi non-homogen $f(x)$.

$f(x) = (x^2 + x - 3) + e^x + xe^x + (2x\sin(3x) + \cos(3x)) - xe^{-2x} \sin(x)$

Kita akan mencari solusi partikular untuk setiap komponen $f(x)$ secara terpisah.

1. Untuk $x^2 + x - 3$:
   Bentuk ini adalah polinomial derajat 2, maka kita asumsikan solusi partikularnya adalah $y_p = Ax^2 + Bx + C$.

2. Untuk $e^x$:
   Karena $e^x$ sudah ada di solusi homogen, kita asumsikan solusi partikular adalah $y_p = x(Ae^x)$.

3. Untuk $xe^x$:
   Karena $xe^x$ juga mirip dengan solusi homogen, kita asumsikan $y_p = x^2(Ae^x)$.

4. Untuk $2x\sin(3x) + \cos(3x)$:
   Untuk bentuk ini, kita asumsikan solusi partikularnya adalah $y_p = (A x + B) \cos(3x) + (C x + D) \sin(3x)$.

5. Untuk $-xe^{-2x} \sin(x)$:
   Karena ini melibatkan eksponensial dan sinus, kita coba bentuk $y_p = (Ax + B)e^{-2x}\sin(x) + (Cx + D)e^{-2x}\cos(x)$.

Langkah 3: Gabungkan Solusi Solusi umum dari persamaan diferensial ini adalah kombinasi dari solusi homogen dan partikular: $y = y_h + y_p$ $y = C_1 e^{-3x} + C_2 e^x + \text{solusi partikular dari masing-masing komponen } f(x)$

Untuk menemukan koefisien $A, B, C, D, \dots$, kita substitusikan solusi partikular ke dalam persamaan diferensial asli dan cocokkan dengan fungsi $f(x)$. Ini memerlukan perhitungan lanjutan yang melibatkan turunan dan aljabar koefisien.

Jika Anda ingin, saya bisa melanjutkan dengan perhitungan lengkap dari masing-masing komponen solusi partikular. Apakah Anda ingin detail lebih lanjut?

---

Pertanyaan Lanjutan:

1. Bagaimana cara menentukan solusi umum dari persamaan diferensial linier?
2. Apa kegunaan dari metode karakteristik dalam menyelesaikan persamaan diferensial homogen?
3. Mengapa kita perlu mencari solusi partikular selain solusi homogen?
4. Bagaimana cara menyusun solusi untuk komponen sinusoidal dalam fungsi non-homogen?
5. Apa dampak akar karakteristik ganda dalam solusi persamaan diferensial?

Tip: Dalam persamaan diferensial linier, solusi umum selalu merupakan penjumlahan dari solusi homogen dan solusi partikular, jadi selalu pertimbangkan kedua komponen tersebut.