Math Problem Statement

甲乙两地是电车发车站,每隔一定时间两地同时发出一辆电车,每辆电车都是 每隔 4 分钟遇到迎面开来的一辆电车。小张和小王分别骑车从甲乙两地同时出发,相向而 行。小张每隔 5 分钟遇到迎面开来的一辆电车,小王每隔 6 分钟遇到迎面开来的一辆电车。 如果电车行驶全程需要 56 分钟,那么小王与小张在途中相遇时,他们已经出发了多少分钟

Solution

我们来解决这个问题。假设甲乙两地之间的距离为 DD 公里,电车的速度为 vv 公里/分钟。

根据题意,每辆电车每隔 4 分钟遇到迎面开来的一辆电车,这意味着在每 4 分钟内,总共有两辆电车在两地之间运行。因此,电车的数量密度为 24=0.5\frac{2}{4} = 0.5 辆/分钟。

小张每隔 5 分钟遇到迎面开来的一辆电车。设小张的速度为 vv_{\text{张}} 公里/分钟。他在 5 分钟内前进的距离为 5v5v_{\text{张}} 公里。电车在这段时间内向他驶来的电车总共走过的距离为 5v电车5v_{\text{电车}} 公里。由于电车的相遇密度是每分钟 0.5 辆,因此在这段时间内小张遇到的电车数量为: 5v电车D2D=25=10\frac{5v_{\text{电车}}}{D} \cdot 2D = 2 \cdot 5 = 10 \text{辆} 这与题目不符(每隔5分钟遇到一辆电车),故有 5v=D45 \cdot v_{\text{张}} = \frac{D}{4} 整理得: v=D20v_{\text{张}} = \frac{D}{20}

小王每隔 6 分钟遇到迎面开来的一辆电车。设小王的速度为 vv_{\text{王}} 公里/分钟。他在 6 分钟内前进的距离为 6v6v_{\text{王}} 公里。电车在这段时间内向他驶来的电车总共走过的距离为 6v电车6v_{\text{电车}} 公里。由于电车的相遇密度是每分钟 0.5 辆,因此在这段时间内小王遇到的电车数量为: 6v电车D2D=26=12\frac{6v_{\text{电车}}}{D} \cdot 2D = 2 \cdot 6 = 12 \text{辆} 这与题目不符(每隔6分钟遇到一辆电车),故有 6v=D46 \cdot v_{\text{王}} = \frac{D}{4} 整理得: v=D24v_{\text{王}} = \frac{D}{24}

电车行驶全程需要 56 分钟,因此电车的速度 vv 是: v电车=D56v_{\text{电车}} = \frac{D}{56}

小张与小王在途中相遇的时间 tt 分钟后,两人的相对距离等于他们的速度之和乘以时间: t(v+v)=Dt \left( v_{\text{张}} + v_{\text{王}} \right) = D

将小张和小王的速度代入,得: t(D20+D24)=Dt \left( \frac{D}{20} + \frac{D}{24} \right) = D t(24D+20D480)=Dt \left( \frac{24D + 20D}{480} \right) = D t(44D480)=Dt \left( \frac{44D}{480} \right) = D t=48044=10.91分钟t = \frac{480}{44} = 10.91 \text{分钟}

因此,小王与小张在途中相遇时,他们已经出发了大约 10.91 分钟。

需要详细解释或者有其他问题吗?你可以选择以下问题中的一个进行提问:

  1. 如何确定小张和小王的速度?
  2. 为什么电车的相遇密度是每分钟0.5辆?
  3. 如何通过速度和时间计算相遇的时间?
  4. 这个问题的思路是怎样的?
  5. 其他类型的相遇问题该如何解答?

提示: 相遇问题通常需要考虑各方的相对速度和出发时间。

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Math Problem Analysis

Mathematical Concepts

Speed, Distance, Time Calculations
Relative Motion

Formulas

Speed = Distance / Time
Relative Velocity

Theorems

-

Suitable Grade Level

Grades 9-12