Pour résoudre ce problème, suivons les étapes une par une.

1. Démontrer que $\frac{2}{3} \leq A \leq 2$

On sait que $A = \frac{1}{1 - x}$ et $|x| \leq \frac{1}{2}$.

Pour déterminer les bornes de $A$, analysons $A$ en fonction des valeurs extrêmes de $x$ dans l'intervalle $|x| \leq \frac{1}{2}$.

• Lorsque $x = -\frac{1}{2}$, $A = \frac{1}{1 + \frac{1}{2}} = \frac{1}{\frac{3}{2}} = \frac{2}{3}.$

• Lorsque $x = \frac{1}{2}$, $A = \frac{1}{1 - \frac{1}{2}} = \frac{1}{\frac{1}{2}} = 2.$

Ainsi, $A$ est compris entre $\frac{2}{3}$ et $2$, soit $\frac{2}{3} \leq A \leq 2.$

2. Vérifier que $A = 1 + x + \frac{x^2}{1 - x}$

Développons $A$ en utilisant la définition $A = \frac{1}{1 - x}$.

On peut écrire $\frac{1}{1 - x}$ sous forme de série géométrique : $\frac{1}{1 - x} = 1 + x + x^2 + x^3 + \dots$ pour $|x| < 1$. Cependant, dans ce cas, nous avons uniquement besoin des deux premiers termes : $A = 1 + x + \frac{x^2}{1 - x}.$ Ainsi, cette expression est correcte.

3. Démontrer que $|A - (1 + x)| \leq 2x^2$

On veut montrer que : $|A - (1 + x)| \leq 2x^2.$

On sait que $A = 1 + x + \frac{x^2}{1 - x}$. Donc : $A - (1 + x) = \frac{x^2}{1 - x}.$

Alors, $\left| A - (1 + x) \right| = \left| \frac{x^2}{1 - x} \right|.$

Comme $|x| \leq \frac{1}{2}$, on a $|1 - x| \geq \frac{1}{2}$. Par conséquent, $\left| \frac{x^2}{1 - x} \right| \leq \frac{x^2}{\frac{1}{2}} = 2x^2.$

Donc, $|A - (1 + x)| \leq 2x^2.$

4. En déduire une valeur approchée de $\frac{1}{0,98}$ avec la précision $8 \times 10^{-4}$

On cherche une approximation de $\frac{1}{0,98}$, et on peut remarquer que : $0,98 = 1 - 0,02.$ Posons $x = 0,02$. Alors, $A = \frac{1}{1 - 0,02} = \frac{1}{0,98}.$

On peut utiliser l'approximation de $A$ : $A \approx 1 + x + x^2 = 1 + 0,02 + (0,02)^2 = 1 + 0,02 + 0,0004 = 1,0204.$

Pour vérifier la précision de cette approximation, calculons l'erreur : $|A - (1 + x)| \leq 2x^2 = 2 \times (0,02)^2 = 2 \times 0,0004 = 0,0008.$

Cette erreur est de l'ordre de $8 \times 10^{-4}$, donc l'approximation $\frac{1}{0,98} \approx 1,0204$ est correcte à cette précision.

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Résumé des réponses

1. $\frac{2}{3} \leq A \leq 2$.
2. $A = 1 + x + \frac{x^2}{1 - x}$.
3. $|A - (1 + x)| \leq 2x^2$.
4. $\frac{1}{0,98} \approx 1,0204$ avec une précision de $8 \times 10^{-4}$.

Avez-vous besoin de détails supplémentaires ou avez-vous des questions ?

Questions pour approfondir

1. Que représente exactement la série géométrique dans le développement de $\frac{1}{1 - x}$ ?
2. Comment déterminer les bornes d'une fonction rationnelle pour un intervalle donné ?
3. Pourquoi peut-on utiliser une série géométrique pour exprimer $\frac{1}{1 - x}$ ici ?
4. Quelle est l'importance de la précision $8 \times 10^{-4}$ dans les calculs de l'approximation ?
5. Comment pourrait-on généraliser cette méthode pour d'autres valeurs proches de 1 ?

Astuce

Lorsqu'on travaille avec des approximations, vérifier la borne d'erreur peut aider à garantir que l'approximation est valable pour la précision requise.