Vamos a analizar el Problema 4 del documento:

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Enunciado del Problema 4:

Se dan las siguientes ecuaciones:

1. $x^2 - 2 = 0$
2. $x^2 + 4 = 0$
3. $x^2 - 18 = 0$
4. $9x^2 = 25$

Se pide determinar cuál de las siguientes opciones es correcta:

• A) Solo la ecuación I tiene soluciones irracionales.
• B) Solo las ecuaciones I y III tienen soluciones irracionales.
• C) Solo la ecuación II tiene soluciones irracionales.
• D) Solo la ecuación IV tiene soluciones irracionales.

La solución correcta es B.

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Resolución Detallada:

1. Primera Ecuación: $x^2 - 2 = 0$

   • Resolviendo: $x^2 = 2$
   • $x = \pm\sqrt{2}$, donde $\sqrt{2}$ es irracional.
   • Por lo tanto, tiene soluciones irracionales.

2. Segunda Ecuación: $x^2 + 4 = 0$

   • Resolviendo: $x^2 = -4$
   • No hay soluciones reales porque no es posible calcular la raíz cuadrada de un número negativo en los reales.
   • Soluciones no reales.

3. Tercera Ecuación: $x^2 - 18 = 0$

   • Resolviendo: $x^2 = 18$
   • $x = \pm\sqrt{18} = \pm3\sqrt{2}$, donde $3\sqrt{2}$ es irracional.
   • Por lo tanto, tiene soluciones irracionales.

4. Cuarta Ecuación: $9x^2 = 25$

   • Resolviendo: $x^2 = \frac{25}{9}$
   • $x = \pm\frac{5}{3}$, donde $\frac{5}{3}$ es un número racional.
   • Por lo tanto, tiene soluciones racionales.

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Explicación de la Respuesta:

• Ecuación I y III tienen soluciones irracionales.
• La opción correcta es la B).

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Ejercicios Semejantes para Practicar:

1. Resuelve y clasifica las soluciones (reales, irracionales, racionales o no reales):

   • $x^2 - 3 = 0$
   • $x^2 + 9 = 0$
   • $x^2 - 1 = 0$
   • $4x^2 = 49$

2. Dado $x^2 + 2x + 1 = 0$, ¿las soluciones son racionales o irracionales? Resuelve.

3. Analiza $2x^2 - 8x + 8 = 0$. Identifica si las soluciones son reales y clasifícalas.

4. Encuentra las soluciones de $x^2 + x - 6 = 0$ y clasifícalas.

5. Resuelve $x^2 - 5x + 6 = 0$ y verifica la naturaleza de las soluciones.

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Tip:

Cuando trabajes con ecuaciones cuadráticas, siempre:

1. Reescribe la ecuación en forma estándar ($ax^2 + bx + c = 0$).
2. Usa el discriminante ($\Delta = b^2 - 4ac$):
   • Si $\Delta > 0$: soluciones reales distintas.
   • Si $\Delta = 0$: solución real doble.
   • Si $\Delta < 0$: soluciones no reales.