Jika (x-k) adalah faktor dari f (x) <-> (Biimplikasi/jika dan hanya jika) f(k)=0
tentukan akar-akar persamaan berikut dengan caranya
a.) x⁴ + 4x³ - 9x² - 16x² + 20= 0
b.)2x³ + 5x² - 23x + 10= 0

Untuk menentukan akar-akar persamaan, kita bisa menggunakan konsep bahwa \((x-k)\) adalah faktor dari \(f(x)\) jika dan hanya jika \(f(k) = 0\). Artinya, kita perlu menemukan nilai-nilai \(x\) yang membuat persamaan \(f(x) = 0\).

### a.) \(x^4 + 4x^3 - 9x^2 - 16x + 20 = 0\)

1. **Pengecekan faktor potensial:** Faktor dari 20 (konstanta) adalah \(\pm 1\), \(\pm 2\), \(\pm 4\), \(\pm 5\), \(\pm 10\), dan \(\pm 20\). Kita coba substitusi nilai-nilai ini ke dalam persamaan untuk menemukan akar.

2. **Substitusi \(x = 1\):**
   \[
   1^4 + 4(1)^3 - 9(1)^2 - 16(1) + 20 = 1 + 4 - 9 - 16 + 20 = 0
   \]
   Jadi, \(x = 1\) adalah akar.

   Ini berarti \((x-1)\) adalah faktor dari \(x^4 + 4x^3 - 9x^2 - 16x + 20\).

3. **Pembagian polinomial:**
   Setelah menemukan \((x-1)\) sebagai faktor, kita perlu membagi polinomial \(x^4 + 4x^3 - 9x^2 - 16x + 20\) dengan \((x-1)\) untuk menemukan faktor lainnya.

   Setelah membagi, kita dapatkan:
   \[
   x^4 + 4x^3 - 9x^2 - 16x + 20 = (x-1)(x^3 + 5x^2 - 4x - 20)
   \]

4. **Faktorisasi lebih lanjut:**
   Kita ulangi langkah ini untuk faktor kedua \(x^3 + 5x^2 - 4x - 20\), dengan mencoba nilai-nilai dari faktor dari konstanta terakhir (-20).

   Setelah melakukan langkah serupa, kita dapatkan:
   \[
   x^3 + 5x^2 - 4x - 20 = (x+5)(x^2 - x - 4)
   \]

   Jadi, persamaan asli difaktorkan menjadi:
   \[
   (x-1)(x+5)(x^2 - x - 4) = 0
   \]

5. **Menentukan akar-akar dari faktor kuadrat:**
   Untuk \(x^2 - x - 4 = 0\), kita gunakan rumus kuadrat:
   \[
   x = \frac{-(-1) \pm \sqrt{(-1)^2 - 4(1)(-4)}}{2(1)} = \frac{1 \pm \sqrt{17}}{2}
   \]

   Jadi akar-akar dari persamaan adalah \(x = 1\), \(x = -5\), \(x = \frac{1 + \sqrt{17}}{2}\), dan \(x = \frac{1 - \sqrt{17}}{2}\).

### b.) \(2x^3 + 5x^2 - 23x + 10 = 0\)

1. **Pengecekan faktor potensial:** Faktor dari 10 (konstanta) adalah \(\pm 1\), \(\pm 2\), \(\pm 5\), \(\pm 10\), dan faktor dari 2 (koefisien dari \(x^3\)) adalah \(\pm 1\), \(\pm 2\).

   Faktor potensial dari persamaan adalah kombinasi \(\frac{p}{q}\), yaitu \(\pm 1\), \(\pm \frac{1}{2}\), \(\pm 2\), \(\pm \frac{5}{2}\), \(\pm 5\), \(\pm 10\).

2. **Substitusi \(x = 2\):**
   \[
   2(2)^3 + 5(2)^2 - 23(2) + 10 = 16 + 20 - 46 + 10 = 0
   \]
   Jadi, \(x = 2\) adalah akar.

   Ini berarti \((x-2)\) adalah faktor dari \(2x^3 + 5x^2 - 23x + 10\).

3. **Pembagian polinomial:**
   Setelah menemukan \((x-2)\) sebagai faktor, kita bagi polinomial \(2x^3 + 5x^2 - 23x + 10\) dengan \((x-2)\) untuk menemukan faktor lainnya.

   Setelah membagi, kita dapatkan:
   \[
   2x^3 + 5x^2 - 23x + 10 = (x-2)(2x^2 + 9x - 5)
   \]

4. **Faktorisasi lebih lanjut:**
   Kita perlu mencari akar-akar dari \(2x^2 + 9x - 5 = 0\) dengan menggunakan rumus kuadrat:
   \[
   x = \frac{-9 \pm \sqrt{9^2 - 4(2)(-5)}}{2(2)} = \frac{-9 \pm \sqrt{81 + 40}}{4} = \frac{-9 \pm \sqrt{121}}{4}
   \]
   \[
   x = \frac{-9 \pm 11}{4}
   \]
   Jadi, akar-akar lainnya adalah \(x = \frac{2}{4} = \frac{1}{2}\) dan \(x = \frac{-20}{4} = -5\).

5. **Kesimpulan:**
   Akar-akar dari persamaan \(2x^3 + 5x^2 - 23x + 10 = 0\) adalah \(x = 2\), \(x = \frac{1}{2}\), dan \(x = -5\).

Apakah Anda ingin detail lebih lanjut atau memiliki pertanyaan? 

Berikut adalah 5 pertanyaan terkait:
1. Bagaimana cara memverifikasi bahwa solusi yang ditemukan benar?
2. Mengapa penting mengetahui faktor potensial dari konstanta dan koefisien terdepan?
3. Apa peran rumus kuadrat dalam menemukan akar persamaan kuadrat?
4. Bagaimana membagi polinomial secara manual?
5. Bisakah faktor lain ditemukan untuk polinomial yang sama?

**Tip:** Ketika mencari akar-akar dari persamaan polinomial, sering kali lebih efisien untuk mencoba nilai-nilai kecil dari faktor konstanta terlebih dahulu.

Explore how to solve complex polynomial equations like x^4 + 4x^3 - 9x^2 - 16x + 20 = 0 and 2x^3 + 5x^2 - 23x + 10 = 0 with step-by-step solutions. Understand polynomial factoring and the use of the quadratic formula. Suitable for advanced high school students and anyone interested in polynomial algebra.

Math Problem Statement

Solution

Ask a new question for Free

By Image

Math Problem Analysis

Mathematical Concepts

Formulas

Theorems

Suitable Grade Level

Related Recommendation