Math Problem Statement

Resolva a EDO: y' = sen(y/x) + 1 + (y/x)

Solution

A equação diferencial fornecida é:

dydx=sin(yx)+1+yx\frac{dy}{dx} = \sin\left(\frac{y}{x}\right) + 1 + \frac{y}{x}

Esta é uma equação diferencial de primeira ordem que envolve uma combinação de funções trigonométricas e racionais. Vamos tentar resolvê-la.

1. Substituição para simplificação:

Para facilitar a resolução, podemos fazer a substituição:

z=yxz = \frac{y}{x}

Logo, temos que:

y=zxy = zx

Agora, precisamos calcular dydx\frac{dy}{dx} usando a regra do produto (derivada implícita):

dydx=z+xdzdx\frac{dy}{dx} = z + x\frac{dz}{dx}

2. Substituindo na equação original:

Substituímos y=zxy = zx e dydx=z+xdzdx\frac{dy}{dx} = z + x \frac{dz}{dx} na equação original:

z+xdzdx=sin(z)+1+zz + x \frac{dz}{dx} = \sin(z) + 1 + z

Agora, podemos simplificar essa equação:

xdzdx=sin(z)+1x \frac{dz}{dx} = \sin(z) + 1

Ou seja:

dzdx=sin(z)+1x\frac{dz}{dx} = \frac{\sin(z) + 1}{x}

3. Separando as variáveis:

Agora, isolamos os termos de zz de um lado e os termos de xx do outro:

dzsin(z)+1=dxx\frac{dz}{\sin(z) + 1} = \frac{dx}{x}

4. Integrando ambos os lados:

Agora, integramos ambos os lados. O lado direito é simples:

dxx=lnx+C1\int \frac{dx}{x} = \ln|x| + C_1

O lado esquerdo, embora mais complicado, pode ser simplificado com uma substituição trigonométrica. No entanto, o integral de 1sin(z)+1\frac{1}{\sin(z) + 1} é não trivial, e pode ser resolvido de forma mais direta se aplicarmos métodos numéricos ou integrais tabulados. Assim, deixaremos esse integral em termos de uma função.

5. Solução implícita:

Portanto, a solução para a equação diferencial pode ser expressa implicitamente como:

dzsin(z)+1=lnx+C1\int \frac{dz}{\sin(z) + 1} = \ln|x| + C_1

Agora, se desejar, podemos explorar uma aproximação ou uma solução numérica para o integral da esquerda. Isso depende do seu interesse!

Você tem mais alguma dúvida ou gostaria de ver uma explicação mais detalhada sobre algum passo?


Outras perguntas para aprofundar o assunto:

  1. Como resolver integrais envolvendo funções trigonométricas no contexto de EDOs?
  2. Quais são as diferenças entre resolver EDOs por substituição e separação de variáveis?
  3. O que significa "solução implícita" em uma equação diferencial e quando ela é necessária?
  4. Como lidar com integrais não elementares em equações diferenciais?
  5. Quais são as principais abordagens numéricas para resolver EDOs de forma prática?

Dica: Em equações diferenciais que não têm soluções fechadas, métodos numéricos como o método de Euler ou Runge-Kutta podem ser muito úteis para obter aproximações!

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Math Problem Analysis

Mathematical Concepts

Ordinary Differential Equations (ODE)
Substitution Method
Separation of Variables
Integration
Trigonometric Functions

Formulas

y' = sin(y/x) + 1 + (y/x)
z = y/x
dy/dx = z + x dz/dx
dz/dx = (sin(z) + 1)/x
∫ (1/(sin(z) + 1)) dz = ∫ (1/x) dx

Theorems

Method of Substitution
Separation of Variables
Integration of Trigonometric Functions

Suitable Grade Level

Undergraduate (Calculus/ODE courses)