Math Problem Statement

jika log (a²/b⁴)=-24 , tentukan nilai dari akar pangkat 3 dari b²/a

Solution

Diberikan persamaan logaritmik:

log(a2b4)=24\log \left( \frac{a^2}{b^4} \right) = -24

Langkah-langkah untuk menentukan nilai b2a3\sqrt[3]{\frac{b^2}{a}}:

Langkah 1: Ubah bentuk logaritma

Gunakan aturan logaritma untuk menyederhanakan:

log(a2b4)=log(a2)log(b4)\log \left( \frac{a^2}{b^4} \right) = \log(a^2) - \log(b^4)

Sehingga:

2log(a)4log(b)=242 \log(a) - 4 \log(b) = -24

Langkah 2: Buat variabel baru

Untuk menyederhanakan, misalkan:

x=log(a)dany=log(b)x = \log(a) \quad \text{dan} \quad y = \log(b)

Maka persamaan menjadi:

2x4y=242x - 4y = -24

Langkah 3: Sederhanakan persamaan

Bagi seluruh persamaan dengan 2:

x2y=12x - 2y = -12

Jadi, kita punya:

log(a)=12+2log(b)\log(a) = -12 + 2 \log(b)

Langkah 4: Tentukan bentuk akar pangkat 3 dari b2a\frac{b^2}{a}

Bentuk b2a3\sqrt[3]{\frac{b^2}{a}} dapat ditulis sebagai:

b2a3=(b2a)13=b23a13\sqrt[3]{\frac{b^2}{a}} = \left(\frac{b^2}{a}\right)^{\frac{1}{3}} = \frac{b^{\frac{2}{3}}}{a^{\frac{1}{3}}}

Gunakan properti logaritma untuk menulisnya dalam logaritma:

log(b23a13)=23log(b)13log(a)\log \left( \frac{b^{\frac{2}{3}}}{a^{\frac{1}{3}}} \right) = \frac{2}{3} \log(b) - \frac{1}{3} \log(a)

Substitusikan nilai log(a)\log(a) dari Langkah 3:

=23y13(12+2y)= \frac{2}{3} y - \frac{1}{3} (-12 + 2y)

Sederhanakan:

=23y+12323y= \frac{2}{3} y + \frac{12}{3} - \frac{2}{3} y

Sehingga hasil akhirnya adalah:

log(b23a13)=4\log \left( \frac{b^{\frac{2}{3}}}{a^{\frac{1}{3}}} \right) = 4

Jadi:

b23a13=104=10000\frac{b^{\frac{2}{3}}}{a^{\frac{1}{3}}} = 10^4 = 10000

Jadi, nilai b2a3\sqrt[3]{\frac{b^2}{a}} adalah 10000.

Apakah Anda memiliki pertanyaan lebih lanjut atau memerlukan penjelasan tambahan?

Pertanyaan yang terkait:

  1. Bagaimana cara menggunakan aturan logaritma untuk menyelesaikan persamaan?
  2. Apa peran basis logaritma dalam soal ini?
  3. Bagaimana cara mengubah bentuk eksponensial menjadi logaritmik?
  4. Apa kegunaan substitusi variabel dalam persamaan logaritmik?
  5. Bagaimana cara menyederhanakan ekspresi dengan akar pangkat?

Tip: Ingat bahwa operasi logaritma dan eksponen saling berlawanan, sehingga berguna untuk mengubah satu bentuk ke bentuk lain saat menyelesaikan persamaan logaritmik atau eksponensial.

Ask a new question for Free

By Image

Drop file here or Click Here to upload

Math Problem Analysis

Mathematical Concepts

Logarithms
Algebra
Exponents

Formulas

log(a²/b⁴) = log(a²) - log(b⁴)
2 log(a) - 4 log(b) = -24
sqrt[3](b²/a) = (b²/a)^(1/3)

Theorems

Properties of logarithms
Exponent rules

Suitable Grade Level

Grades 9-12