Consideriamo la disuguaglianza:

\[
\sqrt{x^2 - 10x + 9} > 3
\]

### Passo 1: Isoliamo il radicale
Per rimuovere il radicale, eleviamo entrambi i membri al quadrato:

\[
x^2 - 10x + 9 > 9
\]

### Passo 2: Semplifichiamo la disuguaglianza
Sottraiamo 9 da entrambi i lati:

\[
x^2 - 10x > 0
\]

### Passo 3: Fattorizziamo l'espressione
Fattorizziamo \(x^2 - 10x\):

\[
x(x - 10) > 0
\]

### Passo 4: Studio del segno
Studiamo il segno del prodotto \(x(x - 10)\). La disuguaglianza è verificata quando il prodotto è positivo, ovvero:

- \(x > 10\), oppure
- \(x < 0\).

### Passo 5: Condizioni aggiuntive
Poiché stiamo lavorando con una radice quadrata, la quantità sotto la radice deve essere non negativa, quindi:

\[
x^2 - 10x + 9 \geq 0
\]

Troviamo le radici di \(x^2 - 10x + 9 = 0\) con la formula risolutiva:

\[
x = \frac{-(-10) \pm \sqrt{(-10)^2 - 4(1)(9)}}{2(1)} = \frac{10 \pm \sqrt{100 - 36}}{2} = \frac{10 \pm \sqrt{64}}{2} = \frac{10 \pm 8}{2}
\]

Quindi, le soluzioni sono \(x = 9\) e \(x = 1\).

Questo ci dice che \(x^2 - 10x + 9 \geq 0\) per \(x \in (-\infty, 1] \cup [9, \infty)\).

### Passo 6: Soluzione finale
La soluzione finale è l'intersezione tra le condizioni \(x > 10\) oppure \(x < 0\) e \(x \in (-\infty, 1] \cup [9, \infty)\). Da qui otteniamo che la soluzione della disuguaglianza è:

\[
x \in (-\infty, 0) \cup (10, \infty)
\]

Se hai domande o vuoi ulteriori dettagli, fammi sapere!

**Domande correlate:**
1. Come si risolvono le disuguaglianze con radici?
2. Qual è il ruolo delle condizioni di esistenza nelle disuguaglianze?
3. Come si studia il segno di un prodotto o di un rapporto?
4. Quali sono i metodi alternativi per risolvere disuguaglianze quadratiche?
5. Come si applicano le disuguaglianze a problemi reali?

**Tip:** Quando lavori con radici quadrate in disuguaglianze, ricordati sempre di controllare le condizioni di esistenza della radice.

Learn how to solve the inequality involving a square root: x^2 - 10x + 9 > 3. This detailed step-by-step solution covers isolating the radical, solving quadratic equations, and analyzing the sign of expressions. Ideal for high school students in Grades 9-12.

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