Himpunan semua nilai x yang memenuhi |x+8| – |3x – 4| ≥ 0 adalah

Soal ini adalah pertidaksamaan yang melibatkan nilai mutlak. Untuk menyelesaikannya, kita perlu menghilangkan nilai mutlak dengan mempertimbangkan beberapa kemungkinan. Pertidaksamaannya adalah:

\[
|x + 8| - |3x - 4| \geq 0
\]

### Langkah 1: Tentukan titik kritis
Titik kritis adalah nilai \( x \) yang menyebabkan ekspresi dalam tanda mutlak sama dengan nol. Untuk \( |x + 8| \) dan \( |3x - 4| \), kita temukan titik kritisnya:

- Untuk \( |x + 8| \), titik kritis adalah \( x + 8 = 0 \), yaitu \( x = -8 \).
- Untuk \( |3x - 4| \), titik kritis adalah \( 3x - 4 = 0 \), yaitu \( x = \frac{4}{3} \).

Jadi, titik kritisnya adalah \( x = -8 \) dan \( x = \frac{4}{3} \). Kita bagi garis bilangan menjadi tiga interval: \( (-\infty, -8) \), \( [-8, \frac{4}{3}] \), dan \( (\frac{4}{3}, \infty) \).

### Langkah 2: Evaluasi pertidaksamaan di setiap interval
Sekarang kita analisis setiap interval dengan menghilangkan tanda mutlak.

#### a) Interval \( (-\infty, -8) \)
Untuk \( x < -8 \), \( |x + 8| = -(x + 8) \) dan \( |3x - 4| = -(3x - 4) \). Maka, pertidaksamaan menjadi:

\[
-(x + 8) - (-(3x - 4)) \geq 0
\]
\[
-(x + 8) + (3x - 4) \geq 0
\]
\[
- x - 8 + 3x - 4 \geq 0
\]
\[
2x - 12 \geq 0
\]
\[
x \geq 6
\]

Tetapi, interval ini adalah untuk \( x < -8 \), dan hasil \( x \geq 6 \) tidak mungkin di interval ini. Jadi, tidak ada solusi di interval \( (-\infty, -8) \).

#### b) Interval \( [-8, \frac{4}{3}] \)
Untuk \( -8 \leq x \leq \frac{4}{3} \), kita punya \( |x + 8| = x + 8 \) dan \( |3x - 4| = -(3x - 4) \). Maka, pertidaksamaan menjadi:

\[
(x + 8) - (-(3x - 4)) \geq 0
\]
\[
(x + 8) + (3x - 4) \geq 0
\]
\[
x + 8 + 3x - 4 \geq 0
\]
\[
4x + 4 \geq 0
\]
\[
4x \geq -4
\]
\[
x \geq -1
\]

Jadi, pada interval ini, \( x \geq -1 \). Karena intervalnya adalah \( -8 \leq x \leq \frac{4}{3} \), solusi di interval ini adalah \( -1 \leq x \leq \frac{4}{3} \).

#### c) Interval \( (\frac{4}{3}, \infty) \)
Untuk \( x > \frac{4}{3} \), kita punya \( |x + 8| = x + 8 \) dan \( |3x - 4| = 3x - 4 \). Maka, pertidaksamaan menjadi:

\[
(x + 8) - (3x - 4) \geq 0
\]
\[
x + 8 - 3x + 4 \geq 0
\]
\[
-2x + 12 \geq 0
\]
\[
-2x \geq -12
\]
\[
x \leq 6
\]

Jadi, pada interval ini, solusinya adalah \( x \leq 6 \). Karena intervalnya adalah \( x > \frac{4}{3} \), solusi di interval ini adalah \( \frac{4}{3} < x \leq 6 \).

### Langkah 3: Gabungkan solusi
Dari hasil di setiap interval, kita dapatkan solusi:

- Di interval \( -1 \leq x \leq \frac{4}{3} \),
- Di interval \( \frac{4}{3} < x \leq 6 \).

Gabungan kedua interval ini adalah \( -1 \leq x \leq 6 \).

### Jawaban:
Himpunan semua nilai \( x \) yang memenuhi pertidaksamaan adalah:

\[
x \in [-1, 6]
\]

Apakah Anda memerlukan penjelasan lebih lanjut? 

**Pertanyaan terkait:**
1. Bagaimana cara mengatasi nilai mutlak dalam persamaan linear?
2. Apa itu pertidaksamaan dan bagaimana ia berbeda dengan persamaan?
3. Mengapa kita harus mempertimbangkan titik kritis dalam masalah nilai mutlak?
4. Bagaimana cara membuktikan solusi pertidaksamaan secara grafis?
5. Apa metode lain yang bisa digunakan untuk menyelesaikan pertidaksamaan nilai mutlak?

**Tip:** Pastikan selalu memeriksa batas-batas interval setelah menghilangkan tanda mutlak untuk memastikan solusinya benar!

This page explains how to solve the inequality involving absolute values: |x+8| – |3x – 4| ≥ 0. It covers key algebraic concepts such as absolute value properties, critical points, and solving inequalities step by step. Suitable for students in Grades 10-12.

Math Problem Statement

Solution

Ask a new question for Free

By Image

Math Problem Analysis

Mathematical Concepts

Formulas

Theorems

Suitable Grade Level

Related Recommendation