برای حل نامعادله $\frac{|2 - x|}{|2x - 3|} > 1$، ابتدا این نامعادله را به دو بخش تقسیم می‌کنیم:

مرحله 1: حل نامعادله $\frac{|2 - x|}{|2x - 3|} > 1$

1. بررسی شرایط از نظر علامت عبارت‌های داخل ارزش‌های مطلق

• برای $|2 - x|$ و $|2x - 3|$ باید تعیین کنیم که چه زمانی این دو مقدار مثبت یا منفی هستند. این وابسته به صفر شدن داخل مقادیر مطلق است:
  • $|2 - x|$ زمانی صفر است که $x = 2$.
  • $|2x - 3|$ زمانی صفر است که $x = \frac{3}{2}$.

بنابراین، مجموعه‌های مهم برای تقسیم‌بندی دامنه‌ی مقادیر عبارت عبارتند از:

• $x = \frac{3}{2}$
• $x = 2$

این دو نقطه به ما کمک می‌کند تا دامنه را به بخش‌های مختلف تقسیم کنیم و در هر بخش علامت‌ها را بررسی کنیم.

2. تقسیم‌بندی دامنه

ما باید نامعادله را در چهار بازه مختلف بررسی کنیم:

1. $x < \frac{3}{2}$
2. $\frac{3}{2} < x < 2$
3. $x = 2$
4. $x > 2$

مرحله 2: حل نامعادله در هر بازه

1. برای $x < \frac{3}{2}$

در این بازه:

• $|2 - x| = 2 - x$
• $|2x - 3| = 3 - 2x$

نامعادله می‌شود: $\frac{2 - x}{3 - 2x} > 1$

برای حل این نامعادله، ابتدا دو طرف را با $3 - 2x$ ضرب می‌کنیم (توجه داشته باشید که در این بازه $3 - 2x > 0$):

$2 - x > 3 - 2x$

حل می‌کنیم: $2 - x > 3 - 2x \quad \Rightarrow \quad x > 1$

در نتیجه در این بازه، جواب $1 < x < \frac{3}{2}$ است.

2. برای $\frac{3}{2} < x < 2$

در این بازه:

• $|2 - x| = 2 - x$
• $|2x - 3| = 2x - 3$

نامعادله می‌شود: $\frac{2 - x}{2x - 3} > 1$

برای حل این نامعادله، ابتدا دو طرف را با $2x - 3$ ضرب می‌کنیم (در این بازه $2x - 3 > 0$):

$2 - x > 2x - 3$

حل می‌کنیم: $2 - x > 2x - 3 \quad \Rightarrow \quad 5 > 3x \quad \Rightarrow \quad x < \frac{5}{3}$

در نتیجه در این بازه، جواب $\frac{3}{2} < x < \frac{5}{3}$ است.

3. برای $x = 2$

در این نقطه، عبارت $|2 - x| = 0$ است. بنابراین کل عبارت $\frac{|2 - x|}{|2x - 3|} = 0$ می‌شود که کوچک‌تر از 1 است. پس در این نقطه هیچ جواب نداریم.

4. برای $x > 2$

در این بازه:

• $|2 - x| = x - 2$
• $|2x - 3| = 2x - 3$

نامعادله می‌شود: $\frac{x - 2}{2x - 3} > 1$

برای حل این نامعادله، ابتدا دو طرف را با $2x - 3$ ضرب می‌کنیم (در این بازه $2x - 3 > 0$):

$x - 2 > 2x - 3$

حل می‌کنیم: $x - 2 > 2x - 3 \quad \Rightarrow \quad -2 > x - 3 \quad \Rightarrow \quad x < 1$

اما این جواب تناقض دارد چون ما در حال بررسی بازه $x > 2$ هستیم. بنابراین در این بازه هیچ جوابی وجود ندارد.

مرحله 3: نتیجه‌گیری

با توجه به مراحل فوق، مجموعه جواب‌های نامعادله عبارت است از: $1 < x < \frac{3}{2} \quad \text{یا} \quad \frac{3}{2} < x < \frac{5}{3}$

بنابراین، جواب نهایی به صورت بازه‌های زیر است: $\left( 1, \frac{3}{2} \right) \cup \left( \frac{3}{2}, \frac{5}{3} \right)$

آیا توضیحات بیشتری نیاز دارید؟ یا سوالی دارید؟

5 سوال مرتبط:

1. چگونه می‌توان نامعادله‌های مشابه با مقادیر مطلق را حل کرد؟
2. چه تفاوت‌هایی بین روش‌های حل نامعادله‌های کسری و نامعادله‌های معمولی وجود دارد؟
3. چگونه می‌توان نشان داد که یک تابع کسری برای مقادیر خاص مثبت یا منفی است؟
4. اگر نامعادله‌ای مشابه با استفاده از سایر مقادیر مطلق حل شود، چطور به دست می‌آید؟
5. آیا می‌توان در چنین مسائل از نمودار استفاده کرد؟

نکته:

در حل نامعادله‌های با مقادیر مطلق، همیشه ابتدا باید دامنه را بررسی کنید و شرایط علامت‌ها را در نظر بگیرید تا بتوانید مراحل بعدی را با دقت انجام دهید.