Procediamo a risolvere i tre esercizi presenti nell'immagine:

4. a) Disequazione:

$\frac{x - 2}{x + 1} > 4$

Passaggi:

1. Portiamo tutto allo stesso denominatore: $\frac{x - 2}{x + 1} - 4 > 0$ Riscriviamo il 4 come frazione con denominatore $x + 1$: $\frac{x - 2}{x + 1} - \frac{4(x + 1)}{x + 1} > 0$
2. Semplifichiamo: $\frac{x - 2 - 4(x + 1)}{x + 1} > 0$ $\frac{x - 2 - 4x - 4}{x + 1} > 0$ $\frac{-3x - 6}{x + 1} > 0$
3. Dividiamo il numeratore per -3 (cambiando il verso della disequazione): $\frac{x + 2}{x + 1} < 0$
4. Determiniamo i segni della frazione in base ai valori di $x$:
   • $x + 2 = 0 \Rightarrow x = -2$
   • $x + 1 = 0 \Rightarrow x = -1$

Quindi dobbiamo studiare il segno di $\frac{x + 2}{x + 1}$, che cambia ai punti critici $x = -2$ e $x = -1$.

• Per $x < -2$, entrambi i termini sono negativi, quindi la frazione è positiva.
• Per $-2 < x < -1$, il numeratore è positivo e il denominatore negativo, quindi la frazione è negativa.
• Per $x > -1$, entrambi i termini sono positivi, quindi la frazione è positiva.

Soluzione:

La frazione è negativa per $x \in (-2, -1)$, quindi: $x \in (-2, -1)$

4. b) Disequazione:

$|x + 3| < 2$

Passaggi:

1. La definizione di valore assoluto ci dà: $-2 < x + 3 < 2$
2. Sottraiamo 3 da tutti i membri: $-5 < x < -1$

Soluzione:

$x \in (-5, -1)$

4. c) Equazione esponenziale:

$2^x = -\frac{1}{8}$

Passaggi:

L'equazione $2^x = -\frac{1}{8}$ non ha soluzioni, poiché $2^x$ è sempre positivo per ogni $x$, quindi non può mai essere uguale a un numero negativo.

Soluzione:

Non esiste soluzione per questa equazione.

Hai altre domande o vuoi ulteriori dettagli?

Ecco alcune domande relative a questi argomenti:

1. Come risolvere altre disequazioni con frazioni?
2. Come trattare i moduli nelle disequazioni?
3. Qual è l'importanza dei punti critici nel segno di una frazione?
4. Come si risolvono equazioni esponenziali quando non ci sono soluzioni reali?
5. Quali sono le proprietà del valore assoluto nelle disequazioni?

Tip: Quando studi le disequazioni con frazioni, presta sempre attenzione ai valori che annullano il denominatore!