Selesaikan persamaan-persamaan diferensial berikut dengan deret pangkat:
𝑦′ + 𝑦^2 = 𝑥^2 , dimana 𝑦(1) = 1

Untuk menyelesaikan persamaan diferensial \( y' + y^2 = x^2 \) dengan metode deret pangkat, kita akan mencari solusi dalam bentuk deret pangkat:

\[
y(x) = \sum_{n=0}^{\infty} a_n (x - 1)^n
\]

Dengan \( y(1) = 1 \), kita bisa menetapkan \( a_0 = 1 \).

Langkah-langkah penyelesaian:

1. **Hitung turunan pertama**: 
   \[
   y' = \sum_{n=1}^{\infty} n a_n (x - 1)^{n-1}
   \]

2. **Substitusi ke dalam persamaan**:
   \[
   \sum_{n=1}^{\infty} n a_n (x - 1)^{n-1} + \left( \sum_{n=0}^{\infty} a_n (x - 1)^n \right)^2 = x^2
   \]

3. **Ekspansi \( y^2 \)**:
   Kita perlu mengalikan deret pangkat dengan dirinya sendiri. Ini dapat dilakukan menggunakan rumus perkalian deret:

   \[
   \left( \sum_{n=0}^{\infty} a_n (x - 1)^n \right)^2 = \sum_{k=0}^{\infty} \left( \sum_{j=0}^{k} a_j a_{k-j} \right) (x - 1)^k
   \]

4. **Sama dengan \( x^2 \)**:
   Kita tahu \( x^2 = (1 + (x - 1))^2 = 1 + 2(x - 1) + (x - 1)^2 \).

5. **Mengumpulkan suku**: 
   Dengan menyamakan koefisien dari dua sisi persamaan, kita bisa mendapatkan sistem persamaan untuk koefisien \( a_n \).

Mari kita tentukan \( a_n \):

- Untuk \( n = 0 \):
  \[
  a_1 + a_0^2 = 1 \quad \Rightarrow \quad a_1 + 1 = 1 \quad \Rightarrow \quad a_1 = 0
  \]

- Untuk \( n = 1 \):
  \[
  2a_2 = 2 \quad \Rightarrow \quad a_2 = 1
  \]

- Untuk \( n = 2 \):
  \[
  3a_3 + 2a_0 a_1 = 0 \quad \Rightarrow \quad 3a_3 = 0 \quad \Rightarrow \quad a_3 = 0
  \]

- Untuk \( n = 3 \):
  \[
  4a_4 + 2a_1 a_2 = 0 \quad \Rightarrow \quad 4a_4 = 0 \quad \Rightarrow \quad a_4 = 0
  \]

Dengan pola ini, kita bisa mendapatkan:

\[
y(x) = 1 + 0(x - 1) + 1(x - 1)^2 + 0(x - 1)^3 + 0(x - 1)^4 + \ldots = 1 + (x - 1)^2
\]

Jadi, solusi persamaan diferensial adalah:

\[
y(x) = (x - 1)^2 + 1
\]

Jika Anda memiliki pertanyaan lebih lanjut atau ingin rincian lebih lanjut, silakan beri tahu. Berikut beberapa pertanyaan terkait:

1. Apa itu deret pangkat dan bagaimana cara kerjanya dalam menyelesaikan persamaan diferensial?
2. Bagaimana jika kita mengubah kondisi awal menjadi \( y(1) = 2 \)?
3. Apa perbedaan antara solusi analitik dan solusi numerik untuk persamaan diferensial?
4. Dapatkah kita menggunakan metode lain untuk menyelesaikan persamaan ini, seperti metode separasi variabel?
5. Apa aplikasi praktis dari penyelesaian persamaan diferensial dalam ilmu fisika atau teknik? 

Tip: Selalu periksa koefisien deret pangkat satu per satu untuk memastikan semua komponen telah diperhitungkan dengan benar.

Selesaikan persamaan-persamaan diferensial berikut dengan deret pangkat: y′ + y^2 = x^2, dimana y(1) = 1

Explore the step-by-step solution for the differential equation y′ + y^2 = x^2 using power series. This comprehensive guide includes essential formulas, theorems, and the final solution y(x) = (x - 1)^2 + 1, suitable for advanced high school students.

Math Problem Statement

Solution

Ask a new question for Free

By Image

Math Problem Analysis

Mathematical Concepts

Formulas

Theorems

Suitable Grade Level

Related Recommendation