Pour résoudre l'équation $p(x) = 0$ où $p(x) = x^3 - 3x^2 - 13x + 15$, on peut suivre les étapes suivantes :

Étape 1 : Chercher une racine évidente

On peut d'abord essayer de trouver une racine rationnelle évidente à l'aide du théorème des racines rationnelles. Selon ce théorème, les racines rationnelles possibles de $p(x)$ sont les diviseurs du terme constant (ici 15) divisés par les diviseurs du coefficient du terme de plus haut degré (ici 1).

Les diviseurs de 15 sont : $\pm 1, \pm 3, \pm 5, \pm 15$.

On va tester ces valeurs dans l'équation $p(x) = 0$.

1. $p(1) = 1^3 - 3(1^2) - 13(1) + 15 = 1 - 3 - 13 + 15 = 0$.

Donc, $x = 1$ est une racine évidente.

Étape 2 : Factoriser le polynôme

Puisque $x = 1$ est une racine, cela signifie que $p(x)$ peut se factoriser comme suit : $p(x) = (x - 1)(ax^2 + bx + c)$ Nous devons trouver les coefficients $a$, $b$ et $c$ du polynôme quadratique.

En utilisant la division polynomiale ou la méthode de Ruffini, on divise $p(x)$ par $(x - 1)$.

Effectuons cette division :

$x^3 - 3x^2 - 13x + 15 \div (x - 1) = x^2 - 2x - 15$

Ainsi, nous avons : $p(x) = (x - 1)(x^2 - 2x - 15)$

Étape 3 : Résoudre le polynôme quadratique

Il nous reste à résoudre l'équation quadratique $x^2 - 2x - 15 = 0$. Nous utilisons la méthode de factorisation :

$x^2 - 2x - 15 = (x - 5)(x + 3)$

Étape 4 : Conclusion

Ainsi, la factorisation complète de $p(x)$ est : $p(x) = (x - 1)(x - 5)(x + 3)$ Donc, les solutions de l'équation $p(x) = 0$ sont : $x = 1, \, x = 5, \, x = -3$

Solutions :

Les solutions dans $\mathbb{R}$ sont $x = 1$, $x = 5$ et $x = -3$.

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Est-ce que tu souhaites plus de détails sur l'une des étapes ou as-tu des questions ?

5 questions pour aller plus loin :

1. Comment utiliser la méthode de Ruffini pour diviser un polynôme ?
2. Pourquoi le théorème des racines rationnelles fonctionne-t-il ?
3. Quelles sont les autres méthodes pour factoriser un polynôme de degré 3 ?
4. Comment peut-on résoudre un polynôme sans racines évidentes ?
5. Quelle est l'application pratique des racines d'une fonction cubique ?

Astuce :

Pour vérifier la factorisation, tu peux multiplier les facteurs pour retrouver le polynôme original.