Chercher une racine évidente p, puis résoudre dans R l'équation p(x)= 0 pour la fonction p(x)= x³-3x²-13x+15

Pour résoudre l'équation \( p(x) = 0 \) où \( p(x) = x^3 - 3x^2 - 13x + 15 \), on peut suivre les étapes suivantes :

### Étape 1 : Chercher une racine évidente
On peut d'abord essayer de trouver une racine rationnelle évidente à l'aide du théorème des racines rationnelles. Selon ce théorème, les racines rationnelles possibles de \( p(x) \) sont les diviseurs du terme constant (ici 15) divisés par les diviseurs du coefficient du terme de plus haut degré (ici 1).

Les diviseurs de 15 sont : \( \pm 1, \pm 3, \pm 5, \pm 15 \).

On va tester ces valeurs dans l'équation \( p(x) = 0 \).

1. \( p(1) = 1^3 - 3(1^2) - 13(1) + 15 = 1 - 3 - 13 + 15 = 0 \).

Donc, \( x = 1 \) est une racine évidente.

### Étape 2 : Factoriser le polynôme

Puisque \( x = 1 \) est une racine, cela signifie que \( p(x) \) peut se factoriser comme suit :
\[
p(x) = (x - 1)(ax^2 + bx + c)
\]
Nous devons trouver les coefficients \( a \), \( b \) et \( c \) du polynôme quadratique.

En utilisant la division polynomiale ou la méthode de Ruffini, on divise \( p(x) \) par \( (x - 1) \).

Effectuons cette division :

\[
x^3 - 3x^2 - 13x + 15 \div (x - 1) = x^2 - 2x - 15
\]

Ainsi, nous avons :
\[
p(x) = (x - 1)(x^2 - 2x - 15)
\]

### Étape 3 : Résoudre le polynôme quadratique

Il nous reste à résoudre l'équation quadratique \( x^2 - 2x - 15 = 0 \). Nous utilisons la méthode de factorisation :

\[
x^2 - 2x - 15 = (x - 5)(x + 3)
\]

### Étape 4 : Conclusion

Ainsi, la factorisation complète de \( p(x) \) est :
\[
p(x) = (x - 1)(x - 5)(x + 3)
\]
Donc, les solutions de l'équation \( p(x) = 0 \) sont :
\[
x = 1, \, x = 5, \, x = -3
\]

### Solutions :
Les solutions dans \( \mathbb{R} \) sont \( x = 1 \), \( x = 5 \) et \( x = -3 \).

---

Est-ce que tu souhaites plus de détails sur l'une des étapes ou as-tu des questions ?

### 5 questions pour aller plus loin :
1. Comment utiliser la méthode de Ruffini pour diviser un polynôme ?
2. Pourquoi le théorème des racines rationnelles fonctionne-t-il ?
3. Quelles sont les autres méthodes pour factoriser un polynôme de degré 3 ?
4. Comment peut-on résoudre un polynôme sans racines évidentes ?
5. Quelle est l'application pratique des racines d'une fonction cubique ?

### Astuce :  
Pour vérifier la factorisation, tu peux multiplier les facteurs pour retrouver le polynôme original.

Discover how to solve the cubic equation x³ - 3x² - 13x + 15 by identifying rational roots and factorizing the polynomial. This step-by-step solution covers key algebraic concepts, including the Rational Root Theorem and polynomial division. Suitable for students in Grades 10-12.

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