Ratkaistaan itseisarvoepäyhtälö $|x+2| > |x-3|$.

1. Tarkastellaan epätasa-arvon määrittelyä:

Itseisarvojen ominaisuuksien mukaan $|a| > |b|$ tarkoittaa, että joko $a > b$ tai $a < -b$, mutta meidän tapauksessa meillä on kaksi itseisarvoa, joten käsitellään se erikseen eri väleissä.

Itseisarvojen ominaisuuksia soveltaen:

$|x+2| > |x-3|$

Jatkamme jakamalla ongelman kolmeen tapaukseen, jotka perustuvat siihen, milloin $x+2$ ja $x-3$ ovat positiivisia tai negatiivisia.

2. Tapaukset:

• Tapaus 1: $x > 3$
• Tapaus 2: $-2 \leq x \leq 3$
• Tapaus 3: $x < -2$

Tapaus 1: $x > 3$

Tällöin $|x+2| = x+2$ ja $|x-3| = x-3$. Epäyhtälöstä tulee:

$x+2 > x-3$

Vähennetään molemmilta puolilta $x$:

$2 > -3$

Tämä on aina totta, joten kaikki $x > 3$ ovat ratkaisuja.

Tapaus 2: $-2 \leq x \leq 3$

Tässä tilanteessa $|x+2| = x+2$ ja $|x-3| = 3-x$, joten epäyhtälöstä tulee:

$x+2 > 3-x$

Ratkaistaan tämä:

$x+2 > 3 - x$ $x + x > 3 - 2$ $2x > 1$ $x > \frac{1}{2}$

Tässä tapauksessa ratkaisu on $\frac{1}{2} < x \leq 3$.

Tapaus 3: $x < -2$

Tällöin $|x+2| = -x-2$ ja $|x-3| = -x+3$, joten epäyhtälöstä tulee:

$-x-2 > -x+3$

Vähennetään molemmilta puolilta $-x$:

$-2 > 3$

Tämä on ristiriita, joten ei ole ratkaisuja.

3. Yhteenveto ratkaisuista:

Yhteenvetona saamme seuraavat ratkaisut:

• $x > 3$
• $\frac{1}{2} < x \leq 3$

Ratkaisujoukko on siis:

$x \in \left( \frac{1}{2}, \infty \right)$

4. Vahvistus:

Voimme tarkistaa, että kaikki osat ovat kunnossa. Esimerkiksi, jos $x = 4$, niin $|4+2| = 6$ ja $|4-3| = 1$, ja $6 > 1$, joka on totta. Jos $x = 1$, niin $|1+2| = 3$ ja $|1-3| = 2$, ja $3 > 2$, joka on myös totta.

---

Haluatko tarkempia yksityiskohtia jostain vaiheesta tai apua muissa ongelmissa?

5 laajentavaa kysymystä:

1. Miten itseisarvoepäyhtälöt voivat vaikuttaa lineaarisiin epäyhtälöihin?
2. Miten ratkaista epäyhtälöitä, joissa on useita itseisarvoja?
3. Miten graafisesti kuvataan itseisarvoepäyhtälön ratkaisujoukko?
4. Mikä on itseisarvojen geometrinen tulkinta?
5. Miten itseisarvoepäyhtälöt eroavat neliöjuurepäättelyistä?

Vinkki: Jos epäyhtälössä on useita itseisarvoja, voi olla kätevää ensin jakaa se eri osiin ja tarkastella kunkin osan merkitystä.