Résolution des équations

(E1) : $|2x + 1| = |x + 2|$

Une équation avec des valeurs absolues peut être résolue en considérant deux cas, selon que les expressions dans les valeurs absolues sont positives ou négatives. On va donc résoudre deux systèmes :

1. $2x + 1 = x + 2$ 2x - x = 2 - 1 \\ x = 1$$ Solution possible : $$x = 1$$
2. $2x + 1 = -(x + 2)$ 2x + x = -2 - 1 \\ 3x = -3 \\ x = -1$$ Solution possible : $$x = -1$$

Vérification des solutions dans l'équation initiale :

• Pour $x = 1$ : |3| = |3| \quad \text{(vrai)}$$
• Pour $x = -1$ : |-1| = |1| \quad \text{(vrai)}$$

Donc, l'ensemble des solutions de l'équation (E1) est $S_1 = \{-1, 1\}$.

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(E2) : $|x^2 - 4| = |2x + 4|$

On résout aussi cette équation en considérant deux cas :

1. $x^2 - 4 = 2x + 4$ x^2 - 2x = 8 \\ x^2 - 2x - 8 = 0$$ C'est une équation quadratique. On applique la formule du discriminant $$\Delta = b^2 - 4ac$$ : $$\Delta = (-2)^2 - 4(1)(-8) = 4 + 32 = 36 \\ x = \frac{-(-2) \pm \sqrt{36}}{2(1)} = \frac{2 \pm 6}{2}$$ Les solutions sont : $$x = \frac{2 + 6}{2} = 4 \quad \text{et} \quad x = \frac{2 - 6}{2} = -2$$
2. $x^2 - 4 = -(2x + 4)$ x^2 + 2x = 0 \\ x(x + 2) = 0$$ Les solutions sont $$x = 0$$ et $$x = -2$$.

Vérification des solutions dans l'équation initiale :

• Pour $x = 4$ : |16 - 4| = |8 + 4| \\ |12| = |12| \quad \text{(vrai)}$$
• Pour $x = -2$ : |4 - 4| = |-4 + 4| \\ |0| = |0| \quad \text{(vrai)}$$
• Pour $x = 0$ : |-4| = |4| \quad \text{(vrai)}$$

Donc, l'ensemble des solutions de l'équation (E2) est $S_2 = \{-2, 0, 4\}$.

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Conclusion

Les propositions vraies sont :

• L’ensemble des solutions réelles de l’équation (E1) est $S_1 = \{-1, 1\}$.
• L’ensemble des solutions réelles de l’équation (E2) est $S_2 = \{-2, 0, 4\}$.

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Propositions vérifiées :

• Proposition 2 : L’ensemble des solutions réelles de l’équation (E1) est $S_1 = \{-1, 1\}$.
• Proposition 4 : L’ensemble des solutions réelles de l’équation (E2) est $S_2 = \{-2, 0, 4\}$.

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Questions supplémentaires

1. Comment vérifier la solution d'une équation avec des valeurs absolues ?
2. Quelle est la méthode générale pour résoudre une équation quadratique ?
3. Quelle est l'importance de vérifier les solutions dans l'équation d'origine ?
4. Comment appliquer le discriminant pour résoudre une équation du second degré ?
5. Quelles sont les propriétés des équations impliquant des valeurs absolues ?

Tip : Lors de la résolution d'équations avec des valeurs absolues, il est essentiel d'examiner séparément chaque cas où les expressions sont positives et négatives.