Voici les solutions aux intégrales mentionnées dans les questions :

Q7. Calcul de l'intégrale $\int_0^1 x e^{-x^2 + 1} \, dx$

Pour résoudre cette intégrale, on peut utiliser la substitution suivante : Soit $u = -x^2 + 1$, donc $du = -2x \, dx$. Cela nous permet de réécrire l'intégrale comme suit : $\int_0^1 x e^{-x^2 + 1} \, dx = \frac{1}{2} \int_1^0 e^u \, du = \frac{1}{2} \left[ e^u \right]_1^0 = \frac{1}{2} (e^0 - e^1) = \frac{1}{2} (1 - e).$ Ainsi, la réponse correcte est E : $\frac{1}{2}(e - 1)$.

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Q12. Calcul de l'intégrale $\int_1^e \frac{\ln^2(x)}{x} \, dx$

Cette intégrale est de la forme $\int \ln^2(x) \, d(\ln(x))$, ce qui est une intégrale standard. On peut résoudre cette intégrale en posant $u = \ln(x)$, ce qui implique $du = \frac{1}{x} \, dx$. Cela transforme l'intégrale en : $\int_1^e \frac{\ln^2(x)}{x} \, dx = \int_0^1 u^2 \, du = \left[ \frac{u^3}{3} \right]_0^1 = \frac{1}{3}.$ La réponse correcte est donc D : $\frac{1}{3}$.

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Q13. Calcul de l'intégrale $\int_0^1 \frac{x-1}{x+1} \, dx$

On décompose cette fraction : $\frac{x-1}{x+1} = 1 - \frac{2}{x+1}.$ Ainsi, l'intégrale devient : $\int_0^1 \frac{x-1}{x+1} \, dx = \int_0^1 1 \, dx - 2 \int_0^1 \frac{1}{x+1} \, dx.$ La première intégrale est triviale : $\int_0^1 1 \, dx = 1.$ La deuxième intégrale est : $\int_0^1 \frac{1}{x+1} \, dx = \ln(x+1) \Big|_0^1 = \ln(2).$ Ainsi, l'intégrale totale est : $1 - 2 \ln(2).$ La réponse correcte est D : $1 - 2 \ln(2)$.

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Q14. Calcul de l'intégrale $\int_1^2 x^2 \ln(x) \, dx$

Pour cette intégrale, on utilise l'intégration par parties. Soit :

• $u = \ln(x)$, donc $du = \frac{1}{x} \, dx$,
• $dv = x^2 \, dx$, donc $v = \frac{x^3}{3}$.

L'intégration par parties donne : [ \int_1^2 x^2 \ln(x) , dx = \left[ \frac{x^3}{3} \ln(x) \right]_1^2 - \int_1^2 \frac{x^3}{3} \cdot \frac{1}{x} , dx = \left[ \frac{x^3}{3} \ln(x) \right]_1^2 - \frac{1}{3} \int_1^2 x^2 , dx. ] Calculons chaque terme :

• $\left[ \frac{x^3}{3} \ln(x) \right]_1^2 = \frac{8}{3} \ln(2) - 0 = \frac{8}{3} \ln(2)$,
• $\int_1^2 x^2 \, dx = \left[ \frac{x^3}{3} \right]_1^2 = \frac{8}{3} - \frac{1}{3} = \frac{7}{3}$.

L'intégrale devient donc : $\frac{8}{3} \ln(2) - \frac{1}{3} \times \frac{7}{3} = \frac{8}{3} \ln(2) - \frac{7}{9}.$ La réponse correcte est E : $\frac{8}{3} \ln(2) - \frac{7}{9}$.

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Récapitulatif des réponses :

1. Q7 : E. $\frac{1}{2}(e - 1)$
2. Q12 : D. $\frac{1}{3}$
3. Q13 : D. $1 - 2 \ln(2)$
4. Q14 : E. $\frac{8}{3} \ln(2) - \frac{7}{9}$

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Souhaitez-vous des détails supplémentaires sur l'une de ces intégrales ? Ou avez-vous d'autres questions ?

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Questions supplémentaires :

1. Comment utiliser l'intégration par parties pour résoudre des intégrales similaires ?
2. Quelle est la méthode de substitution la plus efficace pour résoudre les intégrales impliquant des fonctions exponentielles ?
3. Comment manipuler les logarithmes dans des intégrales pour simplifier le calcul ?
4. Quelle est l'importance des substitutions trigonométriques dans les calculs d'intégrales ?
5. Comment déterminer l'ordre des opérations dans l'intégration par parties ?

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Astuce : Lorsque vous rencontrez une intégrale avec une forme similaire à $\frac{\ln(x)}{x}$ ou $\ln^n(x)$, la substitution $u = \ln(x)$ peut souvent simplifier le calcul.