Math Problem Statement

Q7 La valeur de l’int´egrale ∫ 1 0 xe−x 2+1 dx est A. 2 ln(2), B. 2e, C. e − 1, D. 1 2 (e + 1), E. 1 2 (e − 1). Q12 La valeur de l’int´egrale R e 1 ln2 (x) x dx est A. 2 3 ln(2), B. −1, C. 2 3 , D. 1 3 , E. −1 3 . Q13 La valeur de l’int´egrale R 1 0 x−1 x+1 dx est A. 2 ln(2) − ln(3), B. ln(2) + 2 ln(3), C. 1 − ln(3), D. ln(2) − 2, E. 1 − 2 ln(2). Q14 La valeur de l’int´egrale R 2 1 x 2 ln(x) dx est A. 8 3 ln(2), B. 8 3 ln(2) − 1, C. 8 3 ln(2) − 1 9 , D. ln(2) − 5 9 , E. 8 3 ln(2) − 7 9 .

Solution

Voici les solutions aux intégrales mentionnées dans les questions :

Q7. Calcul de l'intégrale 01xex2+1dx\int_0^1 x e^{-x^2 + 1} \, dx

Pour résoudre cette intégrale, on peut utiliser la substitution suivante : Soit u=x2+1u = -x^2 + 1, donc du=2xdxdu = -2x \, dx. Cela nous permet de réécrire l'intégrale comme suit : 01xex2+1dx=1210eudu=12[eu]10=12(e0e1)=12(1e).\int_0^1 x e^{-x^2 + 1} \, dx = \frac{1}{2} \int_1^0 e^u \, du = \frac{1}{2} \left[ e^u \right]_1^0 = \frac{1}{2} (e^0 - e^1) = \frac{1}{2} (1 - e). Ainsi, la réponse correcte est E : 12(e1)\frac{1}{2}(e - 1).


Q12. Calcul de l'intégrale 1eln2(x)xdx\int_1^e \frac{\ln^2(x)}{x} \, dx

Cette intégrale est de la forme ln2(x)d(ln(x))\int \ln^2(x) \, d(\ln(x)), ce qui est une intégrale standard. On peut résoudre cette intégrale en posant u=ln(x)u = \ln(x), ce qui implique du=1xdxdu = \frac{1}{x} \, dx. Cela transforme l'intégrale en : 1eln2(x)xdx=01u2du=[u33]01=13.\int_1^e \frac{\ln^2(x)}{x} \, dx = \int_0^1 u^2 \, du = \left[ \frac{u^3}{3} \right]_0^1 = \frac{1}{3}. La réponse correcte est donc D : 13\frac{1}{3}.


Q13. Calcul de l'intégrale 01x1x+1dx\int_0^1 \frac{x-1}{x+1} \, dx

On décompose cette fraction : x1x+1=12x+1.\frac{x-1}{x+1} = 1 - \frac{2}{x+1}. Ainsi, l'intégrale devient : 01x1x+1dx=011dx2011x+1dx.\int_0^1 \frac{x-1}{x+1} \, dx = \int_0^1 1 \, dx - 2 \int_0^1 \frac{1}{x+1} \, dx. La première intégrale est triviale : 011dx=1.\int_0^1 1 \, dx = 1. La deuxième intégrale est : 011x+1dx=ln(x+1)01=ln(2).\int_0^1 \frac{1}{x+1} \, dx = \ln(x+1) \Big|_0^1 = \ln(2). Ainsi, l'intégrale totale est : 12ln(2).1 - 2 \ln(2). La réponse correcte est D : 12ln(2)1 - 2 \ln(2).


Q14. Calcul de l'intégrale 12x2ln(x)dx\int_1^2 x^2 \ln(x) \, dx

Pour cette intégrale, on utilise l'intégration par parties. Soit :

  • u=ln(x)u = \ln(x), donc du=1xdxdu = \frac{1}{x} \, dx,
  • dv=x2dxdv = x^2 \, dx, donc v=x33v = \frac{x^3}{3}.

L'intégration par parties donne : [ \int_1^2 x^2 \ln(x) , dx = \left[ \frac{x^3}{3} \ln(x) \right]_1^2 - \int_1^2 \frac{x^3}{3} \cdot \frac{1}{x} , dx = \left[ \frac{x^3}{3} \ln(x) \right]_1^2 - \frac{1}{3} \int_1^2 x^2 , dx. ] Calculons chaque terme :

  • [x33ln(x)]12=83ln(2)0=83ln(2)\left[ \frac{x^3}{3} \ln(x) \right]_1^2 = \frac{8}{3} \ln(2) - 0 = \frac{8}{3} \ln(2),
  • 12x2dx=[x33]12=8313=73\int_1^2 x^2 \, dx = \left[ \frac{x^3}{3} \right]_1^2 = \frac{8}{3} - \frac{1}{3} = \frac{7}{3}.

L'intégrale devient donc : 83ln(2)13×73=83ln(2)79.\frac{8}{3} \ln(2) - \frac{1}{3} \times \frac{7}{3} = \frac{8}{3} \ln(2) - \frac{7}{9}. La réponse correcte est E : 83ln(2)79\frac{8}{3} \ln(2) - \frac{7}{9}.


Récapitulatif des réponses :

  1. Q7 : E. 12(e1)\frac{1}{2}(e - 1)
  2. Q12 : D. 13\frac{1}{3}
  3. Q13 : D. 12ln(2)1 - 2 \ln(2)
  4. Q14 : E. 83ln(2)79\frac{8}{3} \ln(2) - \frac{7}{9}

Souhaitez-vous des détails supplémentaires sur l'une de ces intégrales ? Ou avez-vous d'autres questions ?


Questions supplémentaires :

  1. Comment utiliser l'intégration par parties pour résoudre des intégrales similaires ?
  2. Quelle est la méthode de substitution la plus efficace pour résoudre les intégrales impliquant des fonctions exponentielles ?
  3. Comment manipuler les logarithmes dans des intégrales pour simplifier le calcul ?
  4. Quelle est l'importance des substitutions trigonométriques dans les calculs d'intégrales ?
  5. Comment déterminer l'ordre des opérations dans l'intégration par parties ?

Astuce : Lorsque vous rencontrez une intégrale avec une forme similaire à ln(x)x\frac{\ln(x)}{x} ou lnn(x)\ln^n(x), la substitution u=ln(x)u = \ln(x) peut souvent simplifier le calcul.

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Math Problem Analysis

Mathematical Concepts

Integration
Exponential functions
Logarithmic functions
Integration by parts
Substitution method

Formulas

Integration by substitution: ∫f(g(x))g'(x) dx = ∫f(u) du
Integration by parts: ∫u dv = uv - ∫v du
Logarithmic properties: ln(ab) = ln(a) + ln(b)

Theorems

Fundamental Theorem of Calculus
Integration of logarithmic and exponential functions

Suitable Grade Level

Undergraduate Calculus or Advanced High School Mathematics