Math Problem Statement
Q7 La valeur de l’int´egrale ∫ 1 0 xe−x 2+1 dx est A. 2 ln(2), B. 2e, C. e − 1, D. 1 2 (e + 1), E. 1 2 (e − 1). Q12 La valeur de l’int´egrale R e 1 ln2 (x) x dx est A. 2 3 ln(2), B. −1, C. 2 3 , D. 1 3 , E. −1 3 . Q13 La valeur de l’int´egrale R 1 0 x−1 x+1 dx est A. 2 ln(2) − ln(3), B. ln(2) + 2 ln(3), C. 1 − ln(3), D. ln(2) − 2, E. 1 − 2 ln(2). Q14 La valeur de l’int´egrale R 2 1 x 2 ln(x) dx est A. 8 3 ln(2), B. 8 3 ln(2) − 1, C. 8 3 ln(2) − 1 9 , D. ln(2) − 5 9 , E. 8 3 ln(2) − 7 9 .
Solution
Voici les solutions aux intégrales mentionnées dans les questions :
Q7. Calcul de l'intégrale
Pour résoudre cette intégrale, on peut utiliser la substitution suivante : Soit , donc . Cela nous permet de réécrire l'intégrale comme suit : Ainsi, la réponse correcte est E : .
Q12. Calcul de l'intégrale
Cette intégrale est de la forme , ce qui est une intégrale standard. On peut résoudre cette intégrale en posant , ce qui implique . Cela transforme l'intégrale en : La réponse correcte est donc D : .
Q13. Calcul de l'intégrale
On décompose cette fraction : Ainsi, l'intégrale devient : La première intégrale est triviale : La deuxième intégrale est : Ainsi, l'intégrale totale est : La réponse correcte est D : .
Q14. Calcul de l'intégrale
Pour cette intégrale, on utilise l'intégration par parties. Soit :
- , donc ,
- , donc .
L'intégration par parties donne : [ \int_1^2 x^2 \ln(x) , dx = \left[ \frac{x^3}{3} \ln(x) \right]_1^2 - \int_1^2 \frac{x^3}{3} \cdot \frac{1}{x} , dx = \left[ \frac{x^3}{3} \ln(x) \right]_1^2 - \frac{1}{3} \int_1^2 x^2 , dx. ] Calculons chaque terme :
- ,
- .
L'intégrale devient donc : La réponse correcte est E : .
Récapitulatif des réponses :
- Q7 : E.
- Q12 : D.
- Q13 : D.
- Q14 : E.
Souhaitez-vous des détails supplémentaires sur l'une de ces intégrales ? Ou avez-vous d'autres questions ?
Questions supplémentaires :
- Comment utiliser l'intégration par parties pour résoudre des intégrales similaires ?
- Quelle est la méthode de substitution la plus efficace pour résoudre les intégrales impliquant des fonctions exponentielles ?
- Comment manipuler les logarithmes dans des intégrales pour simplifier le calcul ?
- Quelle est l'importance des substitutions trigonométriques dans les calculs d'intégrales ?
- Comment déterminer l'ordre des opérations dans l'intégration par parties ?
Astuce : Lorsque vous rencontrez une intégrale avec une forme similaire à ou , la substitution peut souvent simplifier le calcul.
Ask a new question for Free
By Image
Drop file here or Click Here to upload
Math Problem Analysis
Mathematical Concepts
Integration
Exponential functions
Logarithmic functions
Integration by parts
Substitution method
Formulas
Integration by substitution: ∫f(g(x))g'(x) dx = ∫f(u) du
Integration by parts: ∫u dv = uv - ∫v du
Logarithmic properties: ln(ab) = ln(a) + ln(b)
Theorems
Fundamental Theorem of Calculus
Integration of logarithmic and exponential functions
Suitable Grade Level
Undergraduate Calculus or Advanced High School Mathematics
Related Recommendation
Integration by Parts Exercises with Solutions for Calculus
Step-by-Step Solutions to Challenging Integral Problems
Step-by-Step Solutions to Exponential and Logarithmic Integrals
Step-by-Step Solutions to Calculus Integration Problems 29, 31, 33, 35
Challenging Integration Problems: Exponential, Logarithmic, and Trigonometric Substitution