Vi ska lösa ekvationen $\sin(x) = \cos(2x)$.

Steg 1: Använda trigonometriska identiteter

Vi börjar med att skriva om $\cos(2x)$ med hjälp av trigonometriska identiteter. Vi vet att:

$\cos(2x) = 1 - 2\sin^2(x)$

Därför kan vi skriva om ekvationen som:

$\sin(x) = 1 - 2\sin^2(x)$

Steg 2: Omforma till en andragradsekvation

Flytta alla termer till en sida av ekvationen så att vi får:

$2\sin^2(x) + \sin(x) - 1 = 0$

Detta är en andragradsekvation i $\sin(x)$.

Steg 3: Lös andragradsekvationen

Använd kvadratkomplettering eller lös ekvationen direkt med kvadratisk formel:

$\sin(x) = \frac{-1 \pm \sqrt{1^2 - 4(2)(-1)}}{2(2)}$

Förenkla:

$\sin(x) = \frac{-1 \pm \sqrt{1 + 8}}{4} = \frac{-1 \pm \sqrt{9}}{4}$

$\sin(x) = \frac{-1 \pm 3}{4}$

Nu har vi två lösningar för $\sin(x)$:

1. $\sin(x) = \frac{-1 + 3}{4} = \frac{2}{4} = \frac{1}{2}$
2. $\sin(x) = \frac{-1 - 3}{4} = \frac{-4}{4} = -1$

Steg 4: Lös för $x$

Nu löser vi för $x$ från de två värdena på $\sin(x)$.

1. För $\sin(x) = \frac{1}{2}$: $x = \arcsin\left(\frac{1}{2}\right)$ Detta ger $x = \frac{\pi}{6} + 2n\pi$ eller $x = \frac{5\pi}{6} + 2n\pi$, där $n$ är ett heltal.

2. För $\sin(x) = -1$: $x = \arcsin(-1)$ Detta ger $x = \frac{3\pi}{2} + 2n\pi$, där $n$ är ett heltal.

Slutsats

De allmänna lösningarna till ekvationen $\sin(x) = \cos(2x)$ är:

$x = \frac{\pi}{6} + 2n\pi, \quad x = \frac{5\pi}{6} + 2n\pi, \quad \text{eller} \quad x = \frac{3\pi}{2} + 2n\pi$ där $n$ är ett heltal.

Vill du ha ytterligare detaljer om lösningsmetoden eller har du några frågor?

---

Här är 5 frågor som bygger vidare på denna lösning:

1. Hur löser man ekvationen $\cos(x) = \sin(2x)$?
2. Hur kan man lösa en ekvation med $\tan(x)$ och $\sin(2x)$?
3. Vad händer om vi istället har ekvationen $\cos(x) = \cos(2x)$?
4. Vilka andra identiteter kan användas för att lösa trigonometriska ekvationer som denna?
5. Hur kan man använda enhetscirkeln för att visuellt lösa trigonometriska ekvationer?

Tips: När du löser trigonometriska ekvationer, kom ihåg att använda identiteter som kan förenkla termerna och göra det lättare att lösa ekvationen.