Math Problem Statement
Resuelva el siguiente sistema de ecuaciones usando el método de Gauss – Jordan.
𝑥+𝑦+2𝑧=9 2𝑥+4𝑦−3𝑧=13 𝑥+6𝑦−5𝑧=0
Solution
Vamos a resolver el siguiente sistema de ecuaciones usando el método de Gauss-Jordan. El sistema es:
1. & \quad x + y + 2z = 9 \\ 2. & \quad 2x + 4y - 3z = 13 \\ 3. & \quad x + 6y - 5z = 0 \end{align*}$$ ### Paso 1: Escribir la matriz aumentada Primero, expresamos este sistema como una matriz aumentada, con los coeficientes de las incógnitas $$x$$, $$y$$, y $$z$$, y los términos independientes: $$\left( \begin{array}{ccc|c} 1 & 1 & 2 & 9 \\ 2 & 4 & -3 & 13 \\ 1 & 6 & -5 & 0 \end{array} \right)$$ ### Paso 2: Hacer ceros debajo del pivote en la primera columna El pivote en la primera columna es $$1$$ en la primera fila. Queremos hacer ceros en las posiciones (2,1) y (3,1). Para ello: - Fila 2: $$F_2 \leftarrow F_2 - 2 \times F_1$$ - Fila 3: $$F_3 \leftarrow F_3 - F_1$$ $$\left( \begin{array}{ccc|c} 1 & 1 & 2 & 9 \\ 0 & 2 & -7 & -5 \\ 0 & 5 & -7 & -9 \end{array} \right)$$ ### Paso 3: Hacer ceros debajo del pivote en la segunda columna El pivote en la segunda columna es $$2$$ en la segunda fila. Vamos a hacer ceros en la posición (3,2): - Fila 3: $$F_3 \leftarrow F_3 - \frac{5}{2} \times F_2$$ $$\left( \begin{array}{ccc|c} 1 & 1 & 2 & 9 \\ 0 & 2 & -7 & -5 \\ 0 & 0 & 6.5 & 3.5 \end{array} \right)$$ ### Paso 4: Hacer que el pivote en la tercera columna sea 1 Dividimos la tercera fila por $$6.5$$ para que el pivote en la tercera columna sea $$1$$: $$\left( \begin{array}{ccc|c} 1 & 1 & 2 & 9 \\ 0 & 2 & -7 & -5 \\ 0 & 0 & 1 & \frac{7}{13} \end{array} \right)$$ ### Paso 5: Hacer ceros arriba del pivote en la tercera columna Ahora hacemos ceros en las posiciones (1,3) y (2,3): - Fila 1: $$F_1 \leftarrow F_1 - 2 \times F_3$$ - Fila 2: $$F_2 \leftarrow F_2 + 7 \times F_3$$ $$\left( \begin{array}{ccc|c} 1 & 1 & 0 & \frac{83}{13} \\ 0 & 2 & 0 & \frac{6}{13} \\ 0 & 0 & 1 & \frac{7}{13} \end{array} \right)$$ ### Paso 6: Hacer que el pivote en la segunda columna sea 1 Dividimos la segunda fila por $$2$$: $$\left( \begin{array}{ccc|c} 1 & 1 & 0 & \frac{83}{13} \\ 0 & 1 & 0 & \frac{3}{13} \\ 0 & 0 & 1 & \frac{7}{13} \end{array} \right)$$ ### Paso 7: Hacer cero en la posición (1,2) Finalmente, hacemos cero en la posición (1,2): - Fila 1: $$F_1 \leftarrow F_1 - F_2$$ $$\left( \begin{array}{ccc|c} 1 & 0 & 0 & \frac{80}{13} \\ 0 & 1 & 0 & \frac{3}{13} \\ 0 & 0 & 1 & \frac{7}{13} \end{array} \right)$$ ### Solución: De la matriz resultante, obtenemos las soluciones: $$x = \frac{80}{13}, \quad y = \frac{3}{13}, \quad z = \frac{7}{13}$$ Si deseas más detalles o tienes alguna pregunta, no dudes en decirme. ### Preguntas Relacionadas: 1. ¿Qué ocurre si el sistema de ecuaciones no tiene solución? 2. ¿Cómo se puede resolver un sistema de ecuaciones no lineales? 3. ¿Qué es una matriz escalonada y cómo se usa en otros métodos? 4. ¿Cuál es la diferencia entre los métodos de Gauss y Gauss-Jordan? 5. ¿Cómo se aplica el método de sustitución en este tipo de sistemas? ### Tip: Siempre es importante verificar la solución sustituyendo los valores encontrados en las ecuaciones originales.Ask a new question for Free
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Matrix row operations
Theorems
Gauss-Jordan elimination
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