 Resuelva el siguiente sistema de ecuaciones usando el método de Gauss – Jordan.

𝑥+𝑦+2𝑧=9 2𝑥+4𝑦−3𝑧=13 𝑥+6𝑦−5𝑧=0

Vamos a resolver el siguiente sistema de ecuaciones usando el método de Gauss-Jordan. El sistema es:

\[
\begin{align*}
1. & \quad x + y + 2z = 9 \\
2. & \quad 2x + 4y - 3z = 13 \\
3. & \quad x + 6y - 5z = 0
\end{align*}
\]

### Paso 1: Escribir la matriz aumentada
Primero, expresamos este sistema como una matriz aumentada, con los coeficientes de las incógnitas \(x\), \(y\), y \(z\), y los términos independientes:

\[
\left( \begin{array}{ccc|c}
1 & 1 & 2 & 9 \\
2 & 4 & -3 & 13 \\
1 & 6 & -5 & 0
\end{array} \right)
\]

### Paso 2: Hacer ceros debajo del pivote en la primera columna
El pivote en la primera columna es \(1\) en la primera fila. Queremos hacer ceros en las posiciones (2,1) y (3,1). Para ello:

- Fila 2: \( F_2 \leftarrow F_2 - 2 \times F_1 \)
- Fila 3: \( F_3 \leftarrow F_3 - F_1 \)

\[
\left( \begin{array}{ccc|c}
1 & 1 & 2 & 9 \\
0 & 2 & -7 & -5 \\
0 & 5 & -7 & -9
\end{array} \right)
\]

### Paso 3: Hacer ceros debajo del pivote en la segunda columna
El pivote en la segunda columna es \(2\) en la segunda fila. Vamos a hacer ceros en la posición (3,2):

- Fila 3: \( F_3 \leftarrow F_3 - \frac{5}{2} \times F_2 \)

\[
\left( \begin{array}{ccc|c}
1 & 1 & 2 & 9 \\
0 & 2 & -7 & -5 \\
0 & 0 & 6.5 & 3.5
\end{array} \right)
\]

### Paso 4: Hacer que el pivote en la tercera columna sea 1
Dividimos la tercera fila por \(6.5\) para que el pivote en la tercera columna sea \(1\):

\[
\left( \begin{array}{ccc|c}
1 & 1 & 2 & 9 \\
0 & 2 & -7 & -5 \\
0 & 0 & 1 & \frac{7}{13}
\end{array} \right)
\]

### Paso 5: Hacer ceros arriba del pivote en la tercera columna
Ahora hacemos ceros en las posiciones (1,3) y (2,3):

- Fila 1: \( F_1 \leftarrow F_1 - 2 \times F_3 \)
- Fila 2: \( F_2 \leftarrow F_2 + 7 \times F_3 \)

\[
\left( \begin{array}{ccc|c}
1 & 1 & 0 & \frac{83}{13} \\
0 & 2 & 0 & \frac{6}{13} \\
0 & 0 & 1 & \frac{7}{13}
\end{array} \right)
\]

### Paso 6: Hacer que el pivote en la segunda columna sea 1
Dividimos la segunda fila por \(2\):

\[
\left( \begin{array}{ccc|c}
1 & 1 & 0 & \frac{83}{13} \\
0 & 1 & 0 & \frac{3}{13} \\
0 & 0 & 1 & \frac{7}{13}
\end{array} \right)
\]

### Paso 7: Hacer cero en la posición (1,2)
Finalmente, hacemos cero en la posición (1,2):

- Fila 1: \( F_1 \leftarrow F_1 - F_2 \)

\[
\left( \begin{array}{ccc|c}
1 & 0 & 0 & \frac{80}{13} \\
0 & 1 & 0 & \frac{3}{13} \\
0 & 0 & 1 & \frac{7}{13}
\end{array} \right)
\]

### Solución:
De la matriz resultante, obtenemos las soluciones:

\[
x = \frac{80}{13}, \quad y = \frac{3}{13}, \quad z = \frac{7}{13}
\]

Si deseas más detalles o tienes alguna pregunta, no dudes en decirme.

### Preguntas Relacionadas:
1. ¿Qué ocurre si el sistema de ecuaciones no tiene solución?
2. ¿Cómo se puede resolver un sistema de ecuaciones no lineales?
3. ¿Qué es una matriz escalonada y cómo se usa en otros métodos?
4. ¿Cuál es la diferencia entre los métodos de Gauss y Gauss-Jordan?
5. ¿Cómo se aplica el método de sustitución en este tipo de sistemas?

### Tip:
Siempre es importante verificar la solución sustituyendo los valores encontrados en las ecuaciones originales.

Resuelva el siguiente sistema de ecuaciones usando el método de Gauss – Jordan: x + y + 2z = 9, 2x + 4y - 3z = 13, x + 6y - 5z = 0

Explore the solution to a system of equations using the Gauss-Jordan method. Learn how to transform the system into a matrix, perform row operations, and find solutions for x, y, and z. This tutorial is perfect for students in Grades 10-12 studying linear algebra and matrix operations.

Math Problem Statement

Solution

Ask a new question for Free

By Image

Math Problem Analysis

Mathematical Concepts

Formulas

Theorems

Suitable Grade Level

Related Recommendation