Selesaikan persamaan diferensial berikut :
𝑦′′ − 4𝑦′ − 5𝑦 = 0

Persamaan diferensial yang diberikan adalah persamaan diferensial linier homogen orde kedua:

\[
y'' - 4y' - 5y = 0
\]

### Langkah-langkah penyelesaian:
1. **Bentuk karakteristik**  
   Untuk menyelesaikan persamaan ini, kita asumsikan solusi berbentuk \( y = e^{rx} \), di mana \( r \) adalah suatu konstanta. Substitusi \( y = e^{rx} \) ke dalam persamaan diferensial:

   \[
   y' = r e^{rx}, \quad y'' = r^2 e^{rx}
   \]

   Substitusikan \( y'' \), \( y' \), dan \( y \) ke dalam persamaan awal:

   \[
   r^2 e^{rx} - 4r e^{rx} - 5e^{rx} = 0
   \]

2. **Persamaan karakteristik**  
   Faktorkan \( e^{rx} \) dari persamaan tersebut:

   \[
   e^{rx}(r^2 - 4r - 5) = 0
   \]

   Karena \( e^{rx} \neq 0 \), kita mendapatkan persamaan karakteristik:

   \[
   r^2 - 4r - 5 = 0
   \]

3. **Mencari akar persamaan karakteristik**  
   Persamaan kuadrat \( r^2 - 4r - 5 = 0 \) dapat difaktorkan:

   \[
   (r - 5)(r + 1) = 0
   \]

   Jadi, akarnya adalah:

   \[
   r_1 = 5, \quad r_2 = -1
   \]

4. **Solusi umum**  
   Karena kita mendapatkan dua akar nyata yang berbeda, solusi umum dari persamaan diferensial ini adalah:

   \[
   y(x) = C_1 e^{5x} + C_2 e^{-x}
   \]

   di mana \( C_1 \) dan \( C_2 \) adalah konstanta yang ditentukan oleh kondisi awal (jika ada).

### Solusi Akhir:
\[
y(x) = C_1 e^{5x} + C_2 e^{-x}
\]

Apakah Anda ingin penjelasan lebih rinci atau memiliki pertanyaan lebih lanjut?

### Pertanyaan Terkait:
1. Bagaimana cara menyelesaikan persamaan diferensial jika memiliki akar kompleks?
2. Apa metode lain untuk menyelesaikan persamaan diferensial linier?
3. Bagaimana cara menentukan nilai konstanta \( C_1 \) dan \( C_2 \)?
4. Apa yang terjadi jika persamaan diferensial memiliki akar kembar?
5. Bagaimana menyelesaikan persamaan diferensial non-homogen?

**Tip:** Saat menyelesaikan persamaan diferensial, akar dari persamaan karakteristik menentukan bentuk solusi, baik itu real, kompleks, atau berulang.

Selesaikan persamaan diferensial berikut: y'' − 4y' − 5y = 0

Learn how to solve the second-order homogeneous linear differential equation y'' − 4y' − 5y = 0. This step-by-step solution covers characteristic equations and general solutions, perfect for advanced calculus students or those studying differential equations.

Math Problem Statement

Solution

Ask a new question for Free

By Image

Math Problem Analysis

Mathematical Concepts

Formulas

Theorems

Suitable Grade Level

Related Recommendation